55 Fragen zu Scheitelpunkt

Um den Scheitelpunkt der Parabel \( y = (x - 1)(x - 5) \) zu berechnen, muss die Gleichung zunächst in die Scheitelpunktform umgewandelt werden. Hier sind die Schritte: 1. **Ausmultiplizieren der Gleichung:** \[ y = (x - 1)(x - 5) \] \[ y = x^2 - 5x - x + 5 \] \[ y = x^2 - 6x + 5 \] 2. **Vervollständigen der quadratischen Form:** \[ y = x^2 - 6x + 5 \] Um die quadratische Form zu vervollständigen, füge und subtrahiere \(\left(\frac{6}{2}\right)^2 = 9\): \[ y = x^2 - 6x + 9 - 9 + 5 \] \[ y = (x - 3)^2 - 4 \] 3. **Scheitelpunkt ablesen:** Die Scheitelpunktform der Parabel ist \( y = (x - 3)^2 - 4 \). Daraus lässt sich der Scheitelpunkt direkt ablesen: \[ S(3, -4) \] Der Scheitelpunkt der Parabel \( y = (x - 1)(x - 5) \) ist also \( (3, -4) \).

Der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion der Form \( f(x) = ax^2 + bx + c \) kann durch die Scheitelpunktform \( f(x) = a(x - h)^2 + k \) bestimmt werden, wobei \( (h, k) \) der Scheitelpunkt ist. Für die Funktion \( f(x) = x^2 + 2 \) ist \( a = 1 \), \( b = 0 \) und \( c = 2 \). Der Scheitelpunkt \( (h, k) \) kann wie folgt berechnet werden: - \( h = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0 \) - \( k = f(h) = f(0) = 0^2 + 2 = 2 \) Der Scheitelpunkt der Funktion \( f(x) = x^2 + 2 \) ist also \( (0, 2) \).

Der Scheitelpunkt der Wellenfront nimmt ab, während sich die Welle stromabwärts bewegt, aufgrund der Dispersion und der Energieverteilung der Welle. Wenn eine Welle sich ausbreitet, verteilt sich ihre Energie über eine größere Fläche, was zu einer Abnahme der Amplitude führt. Zudem können in einem Medium unterschiedliche Frequenzkomponenten der Welle unterschiedlich schnell reisen, was zu einer Veränderung der Form der Wellenfront führt. Diese Effekte zusammen bewirken, dass der Scheitelpunkt der Wellenfront abnimmt, während die Welle sich stromabwärts bewegt.

Um den Scheitelpunkt der Funktion \( f(x) = -x^2 + 4x + 2 \) durch quadratische Ergänzung zu bestimmen, folge diesen Schritten: 1. **Funktion umformen:** \[ f(x) = -x^2 + 4x + 2 \] 2. **Quadratische Ergänzung vorbereiten:** Zuerst den quadratischen Term ausklammern: \[ f(x) = -(x^2 - 4x) + 2 \] 3. **Quadratische Ergänzung durchführen:** Um die quadratische Ergänzung zu machen, nimm die Hälfte des Koeffizienten von \( x \) (also \( -4 \)), quadriere ihn und füge ihn hinzu und ziehe ihn wieder ab: \[ f(x) = -(x^2 - 4x + 4 - 4) + 2 \] \[ f(x) = -(x^2 - 4x + 4) + 4 + 2 \] 4. **In eine binomische Formel umwandeln:** \[ f(x) = -(x - 2)^2 + 6 \] Jetzt ist die Funktion in der Scheitelpunktform \( f(x) = a(x - h)^2 + k \), wobei \( (h, k) \) der Scheitelpunkt ist. 5. **Scheitelpunkt ablesen:** \[ h = 2 \] \[ k = 6 \] Der Scheitelpunkt der Funktion \( f(x) = -x^2 + 4x + 2 \) ist also \( (2, 6) \).

Um den Scheitelpunkt der Parabel \( -x^2 + 2x + 3 \) zu finden, kann die Scheitelpunktform verwendet werden. Die allgemeine Form einer Parabel ist \( ax^2 + bx + c \). Hier sind \( a = -1 \), \( b = 2 \) und \( c = 3 \). Der Scheitelpunkt \( S \) einer Parabel \( ax^2 + bx + c \) kann mit der Formel \( S = \left( -\frac{b}{2a}, c - \frac{b^2}{4a} \right) \) berechnet werden. 1. Berechne die x-Koordinate des Scheitelpunkts: \[ x_S = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1 \] 2. Setze die x-Koordinate in die Parabelgleichung ein, um die y-Koordinate zu finden: \[ y_S = -x_S^2 + 2x_S + 3 = -(1)^2 + 2 \cdot 1 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4 \] Der Scheitelpunkt der Parabel \( -x^2 + 2x + 3 \) ist also \( S(1, 4) \).

Um den Scheitelpunkt der Funktion \( f(x) = (2 - x)(x - 3) \) zu finden, kannst du die Funktion zuerst in die Scheitelpunktform umwandeln. Zunächst multiplizieren wir die Klammern aus: \[ f(x) = (2 - x)(x - 3) = 2x - 6 - x^2 + 3x = -x^2 + 5x - 6 \] Jetzt haben wir die Funktion in der Form \( f(x) = -x^2 + 5x - 6 \). Um den Scheitelpunkt zu finden, verwenden wir die Formel für die x-Koordinate des Scheitelpunkts \( x_s = -\frac{b}{2a} \), wobei \( a = -1 \) und \( b = 5 \): \[ x_s = -\frac{5}{2 \cdot -1} = \frac{5}{2} = 2.5 \] Um die y-Koordinate des Scheitelpunkts zu finden, setzen wir \( x_s \) in die Funktion ein: \[ f(2.5) = -(2.5)^2 + 5 \cdot 2.5 - 6 = -6.25 + 12.5 - 6 = 0.25 \] Der Scheitelpunkt der Funktion \( f(x) = (2 - x)(x - 3) \) ist also \( (2.5, 0.25) \).

Die Normalform einer Parabel ist gegeben durch die Gleichung \(y = a(x - h)^2 + k\), wobei \((h, k)\) der Scheitelpunkt der Parabel ist. In deinem Fall ist der Scheitelpunkt \(S(1 | 3)\), also \(h = 1\) und \(k = 3\). Die Gleichung der Parabel in Normalform lautet somit: \[y = a(x - 1)^2 + 3\] Der Wert von \(a\) bestimmt die Öffnung und die Breite der Parabel. Wenn du weitere Informationen hast, wie z.B. einen Punkt, durch den die Parabel verläuft, kann der Wert von \(a\) bestimmt werden. Andernfalls bleibt die Gleichung in dieser Form.

Der Scheitelpunkt der Parabel, die durch die Funktion \( f(x) = 5x^2 + 30x + 45 \) beschrieben wird, kann direkt aus der Scheitelpunktform abgeleitet werden. Die allgemeine Form einer Parabel ist \( f(x) = ax^2 + bx + c \). Der Scheitelpunkt \( S \) hat die x-Koordinate \( x_s = -\frac{b}{2a} \). Hier ist \( a = 5 \) und \( b = 30 \). Somit ist der Scheitelpunkt: - x-Koordinate: \( x_s = -\frac{30}{2 \cdot 5} = -3 \) Um die y-Koordinate zu finden, setzt man \( x_s \) in die Funktion ein: - y-Koordinate: \( f(-3) = 5(-3)^2 + 30(-3) + 45 = 5 \cdot 9 - 90 + 45 = 45 - 90 + 45 = 0 \) Der Scheitelpunkt ist also \( S(-3, 0) \).

Um den Scheitelpunkt der Parabel \( f(x) = x^2 + 8x + 10 \) zu finden, kannst du die Scheitelpunktform der Parabel verwenden. Zuerst vervollständigen wir das Quadrat. 1. Der Ausdruck \( x^2 + 8x \) kann umgeschrieben werden: \[ x^2 + 8x = (x + 4)^2 - 16 \] 2. Setze dies in die Funktion ein: \[ f(x) = (x + 4)^2 - 16 + 10 \] \[ f(x) = (x + 4)^2 - 6 \] Der Scheitelpunkt der Parabel liegt somit bei \( (-4, -6) \).

Um den Scheitelpunkt der Funktion \( F(x) = x^2 - 4x + 2 \) zu berechnen, kannst du die Scheitelpunktform der Parabel verwenden. Der Scheitelpunkt einer Parabel in der Form \( ax^2 + bx + c \) kann mit der Formel \( x_s = -\frac{b}{2a} \) gefunden werden. 1. Identifiziere die Koeffizienten: - \( a = 1 \) - \( b = -4 \) - \( c = 2 \) 2. Berechne \( x_s \): \[ x_s = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 \] 3. Setze \( x_s \) in die Funktion ein, um den y-Wert des Scheitelpunkts zu finden: \[ F(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 2 = 4 - 8 + 2 = -2 \] Der Scheitelpunkt der Funktion \( F(x) = x^2 - 4x + 2 \) ist also \( (2, -2) \).

Um die Normalform einer verschobenen Normalparabel anzugeben, benötigst du die Scheitelpunktform der Parabel. Die allgemeine Form einer Parabel mit dem Scheitelpunkt \( S(h|k) \) lautet: \[ y = a(x - h)^2 + k \] In deinem Fall ist der Scheitelpunkt \( S(-6|-5) \). Das bedeutet, dass \( h = -6 \) und \( k = -5 \). Die Gleichung der Parabel wird also: \[ y = a(x + 6)^2 - 5 \] Der Wert von \( a \) bestimmt die Öffnung und die Breite der Parabel. Wenn du den Wert von \( a \) nicht angibst, bleibt die Gleichung in dieser Form. Falls du weitere Informationen oder spezifische Werte für \( a \) hast, kann die Gleichung weiter präzisiert werden.

Die gegebene Funktionsgleichung \( y = 2x^2 \) beschreibt eine Parabel, die sich von der Normalparabel \( y = x^2 \) unterscheidet. Der Hauptunterschied liegt in der Streckung der Parabel. 1. **Streckung**: Die Normalparabel hat den Koeffizienten 1 vor \( x^2 \), während die gegebene Parabel den Koeffizienten 2 hat. Dies bedeutet, dass die Parabel \( y = 2x^2 \) steiler ist als die Normalparabel. Für jeden Wert von \( x \) ist der Funktionswert \( y \) doppelt so groß wie bei der Normalparabel. 2. **Scheitelpunkt**: Der Scheitelpunkt der Parabel \( y = 2x^2 \) liegt bei \( (0, 0) \). Dies ist der tiefste Punkt der Parabel, da sie nach oben geöffnet ist. Zusammenfassend ist die Parabel \( y = 2x^2 \) eine steilere Version der Normalparabel \( y = x^2 \) mit dem Scheitelpunkt bei \( (0, 0) \).

Um den Scheitelpunkt einer Parabel zu berechnen, wenn nur die Nullstellen gegeben sind, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Bestimme die Nullstellen**: Angenommen, die Nullstellen der Parabel sind \( x_1 \) und \( x_2 \). 2. **Berechne die x-Koordinate des Scheitelpunkts**: Die x-Koordinate des Scheitelpunkts \( x_s \) liegt genau in der Mitte der Nullstellen. Du kannst sie mit der Formel berechnen: \[ x_s = \frac{x_1 + x_2}{2} \] 3. **Berechne die y-Koordinate des Scheitelpunkts**: Um die y-Koordinate \( y_s \) zu finden, musst du die Funktionsgleichung der Parabel kennen. Wenn die Parabel die Form \( y = a(x - x_1)(x - x_2) \) hat, kannst du \( y_s \) berechnen, indem du \( x_s \) in die Gleichung einsetzt: \[ y_s = a(x_s - x_1)(x_s - x_2) \] Hierbei ist \( a \) der Streckfaktor, der die Öffnung der Parabel bestimmt. Wenn du den Wert von \( a \) nicht kennst, kannst du den Scheitelpunkt nur in Bezug auf \( a \) angeben. Zusammengefasst: Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten \( (x_s, y_s) \), wobei \( x_s = \frac{x_1 + x_2}{2} \) und \( y_s \) von der Funktionsgleichung abhängt.

Der Scheitelpunkt einer Parabel ist der höchste oder tiefste Punkt der Funktion, abhängig von der Öffnungsrichtung der Parabel. Bei einer quadratischen Funktion in der Form \( f(x) = ax^2 + bx + c \) kann der Scheitelpunkt durch die Scheitelpunktform \( f(x) = a(x - h)^2 + k \) dargestellt werden, wobei \( (h, k) \) die Koordinaten des Scheitelpunkts sind. Um den Scheitelpunkt aus der allgemeinen Form zu bestimmen, kannst du die folgenden Schritte ausführen: 1. Berechne die x-Koordinate des Scheitelpunkts mit der Formel \( h = -\frac{b}{2a} \). 2. Setze \( h \) in die ursprüngliche Funktion ein, um die y-Koordinate \( k \) zu finden: \( k = f(h) \). Somit ist der Scheitelpunkt \( (h, k) \) direkt mit den Koeffizienten \( a \), \( b \) und \( c \) der Funktionsgleichung verbunden.

Um den Scheitelpunkt der Parabel \( f(x) = x^2 + 2x + 0,7 \) zu finden, kannst du die Scheitelpunktform der Parabel verwenden. Der Scheitelpunkt einer Parabel in der Form \( f(x) = ax^2 + bx + c \) kann mit der Formel \( x_s = -\frac{b}{2a} \) berechnet werden. Hier sind die Schritte: 1. Identifiziere die Koeffizienten: \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = 0,7 \). 2. Berechne \( x_s \): \[ x_s = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1 \] 3. Setze \( x_s \) in die Funktion ein, um den y-Wert des Scheitelpunkts zu finden: \[ f(-1) = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) + 0,7 = 1 - 2 + 0,7 = -0,3 \] Der Scheitelpunkt der Parabel ist also \( (-1, -0,3) \).