Wie bestimme ich den Scheitelpunkt der Funktion f(x)=-x^2+4x+2 mit quadratischer Ergänzung?

Question

Wie bestimme ich den Scheitelpunkt der Funktion f(x)=-x^2+4x+2 mit quadratischer Ergänzung?

Antwort

Verwandte Fragen

Scheitelpunktform berechnen?

Wie setzt man den Punkt P(1/3) in die Gleichung y = ax²?

Wie erkennt man den Funktionsterm einer Parabel am Graphen?

Wie sieht der Graph der Stammfunktion einer nach oben geöffneten Parabel aus?

Accepted Answer

Um den Scheitelpunkt der Funktion \( f(x) = -x^2 + 4x + 2 \) durch quadratische Ergänzung zu bestimmen, folge diesen Schritten: 1. **Funktion umformen:** \[ f(x) = -x^2 + 4x + 2 \] 2. **Quadratische Ergänzung vorbereiten:** Zuerst den quadratischen Term ausklammern: \[ f(x) = -(x^2 - 4x) + 2 \] 3. **Quadratische Ergänzung durchführen:** Um die quadratische Ergänzung zu machen, nimm die Hälfte des Koeffizienten von \( x \) (also \( -4 \)), quadriere ihn und füge ihn hinzu und ziehe ihn wieder ab: \[ f(x) = -(x^2 - 4x + 4 - 4) + 2 \] \[ f(x) = -(x^2 - 4x + 4) + 4 + 2 \] 4. **In eine binomische Formel umwandeln:** \[ f(x) = -(x - 2)^2 + 6 \] Jetzt ist die Funktion in der Scheitelpunktform \( f(x) = a(x - h)^2 + k \), wobei \( (h, k) \) der Scheitelpunkt ist. 5. **Scheitelpunkt ablesen:** \[ h = 2 \] \[ k = 6 \] Der Scheitelpunkt der Funktion \( f(x) = -x^2 + 4x + 2 \) ist also \( (2, 6) \).

Accepted Answer

Die Scheitelpunktform einer Parabel hat die allgemeine Form \( y = a(x - h)^2 + k \), wobei \((h, k)\) der Scheitelpunkt der Parabel ist. Um die Scheitelpunktform aus der allgemeinen Form \( y = ax^2... [mehr]

Accepted Answer

Die Scheitelpunktform einer Parabel hat die allgemeine Form \( y = a(x - h)^2 + k \), wobei \((h, k)\) der Scheitelpunkt der Parabel ist. Um die Scheitelpunktform aus der allgemeinen Form \( y = ax^2 + bx + c \) zu berechnen, kannst du die folgende Vorgehensweise nutzen: 1. **Berechne den Scheitelpunkt**: - Der x-Wert des Scheitelpunkts \( h \) wird mit der Formel \( h = -\frac{b}{2a} \ berechnet. - Setze \( h \) in die ursprüngliche Gleichung ein, um den y-Wert \( k \) zu finden: \( k = a(h)^2 + b(h) + c \). 2. **Setze die Werte in die Scheitelpunktform ein**: - Ersetze \( h \) und \( k \) in die Scheitelpunktform \( y = a(x - h)^2 + k \). Beispiel: Gegeben sei die Funktion \( y = 2x^2 + 4x + 1 \). 1. Berechne \( h \): - \( h = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -1 \) 2. Berechne \( k \): - \( k = 2(-1)^2 + 4(-1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1 \) 3. Setze in die Scheitelpunktform ein: - \( y = 2(x + 1)^2 - 1 \) Somit ist die Scheitelpunktform \( y = 2(x + 1)^2 - 1 \).

Accepted Answer

Um den Punkt \( P(1, \frac{1}{3}) \) in die Gleichung \( y = ax^2 \) einzusetzen, musst du die Koordinaten des Punktes in die Gleichung einfügen. Das bedeutet, dass du \( x = 1 \) und \( y = \fra... [mehr]

Accepted Answer

Um den Punkt \( P(1, \frac{1}{3}) \) in die Gleichung \( y = ax^2 \) einzusetzen, musst du die Koordinaten des Punktes in die Gleichung einfügen. Das bedeutet, dass du \( x = 1 \) und \( y = \frac{1}{3} \) in die Gleichung einsetzt: \[ \frac{1}{3} = a \cdot (1)^2 \] Das vereinfacht sich zu: \[ \frac{1}{3} = a \] Somit ist der Wert von \( a \) gleich \( \frac{1}{3} \). Die Gleichung, die den Punkt \( P(1, \frac{1}{3}) \) enthält, lautet also: \[ y = \frac{1}{3}x^2 \]

Accepted Answer

Um den Funktionsterm einer Parabel anhand ihres Graphen zu erkennen, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Scheitelpunkt bestimmen**: Finde den Scheitelpunkt der Parabel. Dieser Punkt ist entwed... [mehr]

Accepted Answer

Um den Funktionsterm einer Parabel anhand ihres Graphen zu erkennen, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Scheitelpunkt bestimmen**: Finde den Scheitelpunkt der Parabel. Dieser Punkt ist entweder das Minimum oder Maximum der Parabel, je nachdem, ob sie nach oben oder unten geöffnet ist. 2. **Öffnungsrichtung**: Bestimme, ob die Parabel nach oben (a > 0) oder nach unten (a < 0) geöffnet ist. Dies kannst du erkennen, indem du schaust, ob die Arme der Parabel nach oben oder unten zeigen. 3. **Steigung und Breite**: Achte auf die Breite der Parabel. Eine schmalere Parabel hat einen größeren Betrag von a (z.B. |a| > 1), während eine breitere Parabel einen kleineren Betrag von a hat (z.B. |a| < 1). 4. **Funktionsform**: Der allgemeine Funktionsterm einer Parabel ist in der Form \( f(x) = a(x - h)^2 + k \), wobei (h, k) der Scheitelpunkt ist. Setze die Koordinaten des Scheitelpunkts in die Gleichung ein. 5. **Weitere Punkte**: Wenn möglich, bestimme weitere Punkte auf der Parabel, um den Wert von a genauer zu bestimmen. Setze diese Punkte in die Gleichung ein, um a zu berechnen. Durch diese Schritte kannst du den Funktionsterm der Parabel aus ihrem Graphen ableiten.

Accepted Answer

Der Graph der Stammfunktion einer nach oben hin geöffneten Parabel hat die Form einer kubischen Funktion. Eine nach oben hin geöffnete Parabel kann allgemein durch die Funktion \( f(x) = ax^... [mehr]

Accepted Answer

Der Graph der Stammfunktion einer nach oben hin geöffneten Parabel hat die Form einer kubischen Funktion. Eine nach oben hin geöffnete Parabel kann allgemein durch die Funktion \( f(x) = ax^2 + bx + c \) beschrieben werden, wobei \( a > 0 \) ist. Die Stammfunktion \( F(x) \) dieser Parabel wird durch die Integration von \( f(x) \) bestimmt: \[ F(x) = \int (ax^2 + bx + c) \, dx = \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx + C \] Hierbei ist \( C \) eine Konstante, die den y-Achsenabschnitt der Stammfunktion bestimmt. Der Graph von \( F(x) \) wird also eine kubische Kurve sein, die typischerweise die folgenden Eigenschaften hat: 1. **Allgemeine Form**: Die Funktion hat die Form \( F(x) = \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx + C \). 2. **Verhalten**: Für große positive oder negative Werte von \( x \) wird der Graph in die positive oder negative Richtung steigen, abhängig von dem Vorzeichen von \( a \). 3. **Wendepunkte**: Der Graph kann Wendepunkte aufweisen, die durch die Ableitung \( F'(x) = ax^2 + bx + c \) bestimmt werden. Insgesamt zeigt der Graph der Stammfunktion einer nach oben geöffneten Parabel eine charakteristische S-Form, die von den Koeffizienten der ursprünglichen Parabel abhängt.