Gib die Normalform einer verschobenen Normalparabel mit dem Scheitelpunkt S(1|3) an.

Question

Gib die Normalform einer verschobenen Normalparabel mit dem Scheitelpunkt S(1|3) an.

Antwort

Verwandte Fragen

Parabel schneidet bei x = -2 und x = 4 die x-Achse. Wie lautet b und die Parabelgleichung?

Wie gibt man die Normalform einer Ebene in GeoGebra ein?

Warum ist ein exaktes Winkeldritteln mit Hilfe der Parabel y = x^2 für beliebige Winkel möglich, obwohl es als unmöglich bewiesen ist?

Accepted Answer

Die Normalform einer Parabel ist gegeben durch die Gleichung \(y = a(x - h)^2 + k\), wobei \((h, k)\) der Scheitelpunkt der Parabel ist. In deinem Fall ist der Scheitelpunkt \(S(1 | 3)\), also \(h = 1\) und \(k = 3\). Die Gleichung der Parabel in Normalform lautet somit: \[y = a(x - 1)^2 + 3\] Der Wert von \(a\) bestimmt die Öffnung und die Breite der Parabel. Wenn du weitere Informationen hast, wie z.B. einen Punkt, durch den die Parabel verläuft, kann der Wert von \(a\) bestimmt werden. Andernfalls bleibt die Gleichung in dieser Form.

Accepted Answer

Gegeben ist, dass die Parabel die x-Achse bei \( x = -2 \) und \( x = 4 \) schneidet. Das bedeutet, die Nullstellen der Parabel sind \( x_1 = -2 \) und \( x_2 = 4 \). Die allgemeine Form einer Parabe... [mehr]

Accepted Answer

Gegeben ist, dass die Parabel die x-Achse bei \( x = -2 \) und \( x = 4 \) schneidet. Das bedeutet, die Nullstellen der Parabel sind \( x_1 = -2 \) und \( x_2 = 4 \). Die allgemeine Form einer Parabel (quadratische Funktion) mit den Nullstellen \( x_1 \) und \( x_2 \) lautet: \[ y = a(x - x_1)(x - x_2) \] Setze die Werte ein: \[ y = a(x + 2)(x - 4) \] Wenn keine weiteren Angaben (z.B. Scheitelpunkt oder ein Punkt, durch den die Parabel verläuft) gemacht werden, kann \( a \) beliebig gewählt werden. Häufig wird \( a = 1 \) angenommen, wenn nichts anderes gegeben ist. **1. Gleichung der Parabel (mit \( a = 1 \)):** \[ y = (x + 2)(x - 4) \] \[ y = x^2 - 4x + 2x - 8 \] \[ y = x^2 - 2x - 8 \] **2. Parameter \( b \) in der Form \( y = x^2 + bx + c \):** Vergleiche: \[ y = x^2 - 2x - 8 \] Hier ist \( b = -2 \). **Antwort:** - \( b = -2 \) - Die Gleichung der Parabel lautet: \( y = x^2 - 2x - 8 \) Falls ein anderer Wert für \( a \) gegeben ist, müsste dieser noch eingesetzt werden.

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Um die Normalform einer Ebene in GeoGebra einzugeben, verwende die folgende Syntax: ``` Ebene: a*x + b*y + c*z = d ``` Dabei sind **a**, **b** und **c** die Komponenten des Normalenvektors, und **d*... [mehr]

Accepted Answer

Um die Normalform einer Ebene in GeoGebra einzugeben, verwende die folgende Syntax: ``` Ebene: a*x + b*y + c*z = d ``` Dabei sind **a**, **b** und **c** die Komponenten des Normalenvektors, und **d** ist der konstante Term. **Beispiel:** Die Ebene mit der Gleichung \( 2x - 3y + z = 5 \) gibst du in GeoGebra so ein: ``` Ebene: 2x - 3y + z = 5 ``` Alternativ kannst du auch direkt die Gleichung ohne das Wort „Ebene“ eingeben: ``` 2x - 3y + z = 5 ``` GeoGebra erkennt dies automatisch als Ebenengleichung und stellt sie im 3D-Plot dar. **Hinweis:** Achte darauf, dass du im 3D-Graphikfenster arbeitest, damit die Ebene korrekt angezeigt wird. Weitere Infos findest du in der [GeoGebra-Hilfe zur Ebenengleichung](https://wiki.geogebra.org/de/Ebene_(Befehl)).

Accepted Answer

Das exakte Winkeldritteln ist mit Zirkel und Lineal für beliebige Winkel **unmöglich** – das wurde 1837 von Pierre Wantzel bewiesen. Der Beweis bezieht sich aber **ausschließlich... [mehr]

Accepted Answer

Das exakte Winkeldritteln ist mit Zirkel und Lineal für beliebige Winkel **unmöglich** – das wurde 1837 von Pierre Wantzel bewiesen. Der Beweis bezieht sich aber **ausschließlich** auf Konstruktionen, die nur mit Zirkel und Lineal durchgeführt werden dürfen. Wenn du aber eine Parabel, zum Beispiel \( y = x^2 \), als zusätzliches Hilfsmittel verwendest, verlässt du die klassischen Regeln der "Zirkel-und-Lineal-Konstruktion". Mit einer Parabel (oder anderen bestimmten Kurven, wie der Neusis-Konstruktion oder der sogenannten "Trisektrix") ist das exakte Winkeldritteln tatsächlich **möglich**. **Warum ist das so?** - Das Problem beim Winkeldritteln mit Zirkel und Lineal ist, dass die Gleichung, die du lösen musst (im Wesentlichen eine kubische Gleichung), mit diesen Werkzeugen nicht immer lösbar ist. - Mit einer Parabel kannst du aber geometrisch eine Konstruktion durchführen, die einer Lösung einer kubischen Gleichung entspricht. - Das heißt: Die Parabel erweitert die "Werkzeugkiste" so, dass du Aufgaben lösen kannst, die mit Zirkel und Lineal allein nicht gehen. **Fazit:** Das exakte Winkeldritteln ist mit Zirkel und Lineal unmöglich, aber mit einer Parabel (wie \( y = x^2 \)) möglich, weil du damit zusätzliche mathematische Operationen (wie das Lösen kubischer Gleichungen) geometrisch umsetzen kannst. Der Unmöglichkeitsbeweis gilt nur für die klassischen Werkzeuge, nicht für Konstruktionen mit Parabeln. Weitere Infos: - [Winkeldrittelung – Wikipedia](https://de.wikipedia.org/wiki/Winkeldrittelung) - [Wantzelscher Unmöglichkeitsbeweis – Wikipedia](https://de.wikipedia.org/wiki/Winkeldrittelung#Wantzelscher_Unm%C3%B6glichkeitsbeweis)