Bestimme die Gleichung einer nach unten geöffneten Normalparabel, die durch die Punkte P(-2/-5) und Q(2/3) geht.

Um die Gleichung der Parabel zu bestimmen, die durch die Punkte \( P(-2, -5) \) und \( Q(2, 3) \) geht, und nach unten geöffnet ist, nehmen wir die allgemeine Form einer Parabel an:

\[ y = ax^2 + bx + c \]

Da die Parabel nach unten geöffnet ist, muss \( a < 0 \) sein. Wir setzen die Koordinaten der gegebenen Punkte in die Gleichung ein, um ein Gleichungssystem zu erstellen.

Für den Punkt \( P(-2, -5) \):

\[ -5 = a(-2)^2 + b(-2) + c \]
\[ -5 = 4a - 2b + c \quad \text{(1)} \]

Für den Punkt \( Q(2, 3) \):

\[ 3 = a(2)^2 + b(2) + c \]
\[ 3 = 4a + 2b + c \quad \text{(2)} \]

Nun haben wir zwei Gleichungen:

1. \( -5 = 4a - 2b + c \)
2. \( 3 = 4a + 2b + c \)

Um \( b \) und \( c \) zu eliminieren, subtrahieren wir die erste Gleichung von der zweiten:

\[ (4a + 2b + c) - (4a - 2b + c) = 3 - (-5) \]
\[ 4a + 2b + c - 4a + 2b - c = 8 \]
\[ 4b = 8 \]
\[ b = 2 \]

Setze \( b = 2 \) in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um \( a \) und \( c \) zu finden. Nehmen wir die erste Gleichung:

\[ -5 = 4a - 2(2) + c \]
\[ -5 = 4a - 4 + c \]
\[ -1 = 4a + c \quad \text{(3)} \]

Setze \( b = 2 \) in die zweite Gleichung ein:

\[ 3 = 4a + 2(2) + c \]
\[ 3 = 4a + 4 + c \]
\[ -1 = 4a + c \quad \text{(4)} \]

Da die Gleichungen (3) und (4) identisch sind, haben wir nur eine unabhängige Gleichung für \( a \) und \( c \). Wir können \( c \) in Abhängigkeit von \( a \) ausdrücken:

\[ c = -1 - 4a \]

Setze \( c = -1 - 4a \) in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um \( a \) zu finden. Nehmen wir die erste Gleichung:

\[ -5 = 4a - 2(2) + (-1 - 4a) \]
\[ -5 = 4a - 4 - 1 - 4a \]
\[ -5 = -5 \]

Dies bestätigt, dass die Gleichung konsistent ist. Da wir \( b = 2 \) und \( c = -1 - 4a \) haben, setzen wir \( a \) als eine negative Zahl, um die nach unten geöffnete Parabel zu gewährleisten. Nehmen wir an, \( a = -1 \):

\[ c = -1 - 4(-1) \]
\[ c = -1 + 4 \]
\[ c = 3]

Somit ist die Gleichung der Parabel:

\[ y = -x^2 + 2x + 3 \]