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Wie wird die Funktion f(x) = 2x^2 + 12x + 26 aus einer Normalparabel erzeugt?
Antwort vomUm die Funktion \( f(x) = 2x^2 + 12x + 26 \) aus einer Normalparabel zu erzeugen, können wir die Schritte zur Umformung und Transformation einer Normalparabel \( g(x) = x^2 \) betrachten. 1. **Faktorisierung**: Zuerst erkennen wir, dass der Koeffizient \( x^2 \) in \( f(x) \) 2 ist. Das bedeutet, dass wir die Normalparabel \( g(x) = x^2 \) mit 2 multiplizieren müssen: \[ f(x) = 2 \cdot g(x) = 2x^2 \] 2. **Verschiebung**: Nun müssen wir die Parabel nach links und oben verschieben. Die Terme \( 12x \) und \( 26 \) müssen in die Gleichung integriert werden. Zuerst vervollständigen wir das Quadrat für den Ausdruck \( 2x^2 + 12x \): \[ 2x^2 + 12x = 2(x^2 + 6x) \] Um \( x^2 + 6x \) zu vervollständigen, fügen wir \( 9 \) hinzu und subtrahieren es: \[ x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9 \] Setzen wir das zurück in die Gleichung ein: \[ 2(x^2 + 6x) = 2((x + 3)^2 - 9) = 2(x + 3)^2 - 18 \] 3. **Endform**: Jetzt fügen wir den konstanten Term \( 26 \) hinzu: \[ f(x) = 2(x + 3)^2 - 18 + 26 = 2(x + 3)^2 + 8 \] Somit haben wir die Funktion \( f(x) \) in der Scheitelpunktform: \[ f(x) = 2(x + 3)^2 + 8 \] Zusammenfassend: Die Funktion \( f(x) = 2x^2 + 12x + 26 \) wird aus der Normalparabel \( g(x) = x^2 \) durch eine Streckung um den Faktor 2, eine Verschiebung um 3 Einheiten nach links und 8 Einheiten nach oben erzeugt.
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