15 Fragen zu Extrempunkte

Um die Extrempunkte der Funktion \( f(x) = -\frac{1}{8}x^4 + x^2 + 16 \) zu bestimmen, gehst du wie folgt vor: **1. Ableitungen berechnen** **Erste Ableitung:** \[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{8}x^4 + x^2 + 16\right) = -\frac{1}{2}x^3 + 2x \] **Zweite Ableitung:** \[ f''(x) = \frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2}x^3 + 2x\right) = -\frac{3}{2}x^2 + 2 \] --- **2. Notwendige Bedingung für Extrempunkte:** Setze \( f'(x) = 0 \): \[ -\frac{1}{2}x^3 + 2x = 0 \] \[ -\frac{1}{2}x(x^2 - 4) = 0 \] \[ x_1 = 0,\quad x^2 - 4 = 0 \implies x_2 = 2,\ x_3 = -2 \] --- **3. Funktionswerte berechnen:** - Für \( x = 0 \): \[ f(0) = -\frac{1}{8} \cdot 0^4 + 0^2 + 16 = 16 \] - Für \( x = 2 \): \[ f(2) = -\frac{1}{8} \cdot 16 + 4 + 16 = -2 + 4 + 16 = 18 \] - Für \( x = -2 \): \[ f(-2) = -\frac{1}{8} \cdot 16 + 4 + 16 = -2 + 4 + 16 = 18 \] --- **4. Zweite Ableitung an den Stellen prüfen (Hinreichende Bedingung):** - \( f''(x) = -\frac{3}{2}x^2 + 2 \) - Für \( x = 0 \): \[ f''(0) = 2 > 0 \implies \text{Minimum} \] - Für \( x = 2 \) und \( x = -2 \): \[ f''(2) = f''(-2) = -\frac{3}{2} \cdot 4 + 2 = -6 + 2 = -4 < 0 \implies \text{Maximum} \] --- **5. Zusammenfassung der Extrempunkte:** - **Hochpunkte:** \( H_1(-2|18) \) \( H_2(2|18) \) - **Tiefpunkt:** \( T(0|16) \) --- **Fazit:** Die Funktion hat zwei Hochpunkte bei \( (-2|18) \) und \( (2|18) \) sowie ein Minimum bei \( (0|16) \). Deine Kontrollangabe ist korrekt: Ein Hochpunkt liegt bei \( H_1(-2|18) \).

Die Extrempunkte einer Kostenfunktion haben in der Wirtschaft eine wichtige Bedeutung: - **Minimum (Tiefpunkt):** Das Minimum der Kostenfunktion entspricht den minimalen Gesamtkosten. An diesem Punkt werden die Kosten für die Produktion einer bestimmten Menge eines Gutes am geringsten. Wirtschaftlich bedeutet das: Hier wird die effizienteste Produktionsmenge erreicht, bei der die Kosten pro Stück am niedrigsten sind. Dies ist oft der sogenannte „Betriebsoptimum“ oder „kostengünstigste Produktionsmenge“. - **Maximum (Hochpunkt):** Ein Maximum ist bei Kostenfunktionen in der Regel weniger relevant, da Kosten mit steigender Produktionsmenge meist nicht sinken und dann wieder steigen. Sollte es dennoch ein Maximum geben, würde es eine Produktionsmenge anzeigen, bei der die Kosten am höchsten sind – was in der Praxis selten sinnvoll ist. Zusammengefasst: Das Minimum der Kostenfunktion zeigt die wirtschaftlich optimale Produktionsmenge an, bei der die Kosten am geringsten sind. Das ist für Unternehmen besonders wichtig, um effizient und gewinnbringend zu produzieren.

Eine mögliche mathematische Aufgabe zu Extrempunkten einer Kostenfunktion könnte wie folgt lauten: **Aufgabe:** Gegeben sei die Kostenfunktion \( K(x) = 2x^3 - 15x^2 + 36x + 50 \), wobei \( x \) die produzierte Menge in Einheiten darstellt. 1. Bestimme die Extrempunkte der Kostenfunktion. 2. Interpretiere die Extrempunkte wirtschaftlich. **Lösung:** 1. **Bestimmung der Extrempunkte:** Zuerst berechnest du die erste Ableitung der Kostenfunktion, um die kritischen Punkte zu finden: \[ K'(x) = 6x^2 - 30x + 36 \] Setze die erste Ableitung gleich null, um die kritischen Punkte zu finden: \[ 6x^2 - 30x + 36 = 0 \] Diese quadratische Gleichung kann durch Faktorisierung oder die Mitternachtsformel gelöst werden. Verwenden wir die Mitternachtsformel: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Hier ist \( a = 6 \), \( b = -30 \), und \( c = 36 \). Berechne die Diskriminante: \[ b^2 - 4ac = (-30)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 36 = 900 - 864 = 36 \] Setze die Werte in die Mitternachtsformel ein: \[ x = \frac{30 \pm \sqrt{36}}{12} = \frac{30 \pm 6}{12} \] Dies ergibt die Lösungen: \[ x_1 = \frac{36}{12} = 3, \quad x_2 = \frac{24}{12} = 2 \] Nun berechne die zweite Ableitung, um die Art der Extrempunkte zu bestimmen: \[ K''(x) = 12x - 30 \] Setze die kritischen Punkte in die zweite Ableitung ein: Für \( x = 2 \): \[ K''(2) = 12 \cdot 2 - 30 = 24 - 30 = -6 \] Da \( K''(2) < 0 \), handelt es sich um ein lokales Maximum. Für \( x = 3 \): \[ K''(3) = 12 \cdot 3 - 30 = 36 - 30 = 6 \] Da \( K''(3) > 0 \), handelt es sich um ein lokales Minimum. 2. **Wirtschaftliche Interpretation:** - Bei einer Produktionsmenge von \( x = 2 \) Einheiten erreicht die Kostenfunktion ein lokales Maximum. Dies bedeutet, dass die Kosten bei dieser Produktionsmenge am höchsten sind, was auf Ineffizienzen oder hohe variable Kosten bei dieser Menge hinweisen könnte. - Bei einer Produktionsmenge von \( x = 3 \) Einheiten erreicht die Kostenfunktion ein lokales Minimum. Dies bedeutet, dass die Kosten bei dieser Produktionsmenge am niedrigsten sind, was auf eine effiziente Produktion hinweist. Es könnte wirtschaftlich sinnvoll sein, die Produktion auf diese Menge zu optimieren, um die Kosten zu minimieren.

Eine mögliche mathematische Aufgabe zu Extrempunkten einer Kostenfunktion könnte wie folgt lauten: **Aufgabe:** Gegeben sei die Kostenfunktion \( K(x) = 0,01x^3 - 0,6x^2 + 15x + 200 \), wobei \( x \) die produzierte Menge in Einheiten darstellt. 1. Bestimme die Extrempunkte der Kostenfunktion. 2. Untersuche, ob es sich bei den Extrempunkten um lokale Minima oder Maxima handelt. 3. Interpretiere die wirtschaftliche Bedeutung der Extrempunkte. **Lösung:** 1. **Bestimmung der Extrempunkte:** Zuerst berechnest du die erste Ableitung der Kostenfunktion, um die kritischen Punkte zu finden: \[ K'(x) = 0,03x^2 - 1,2x + 15 \] Setze die erste Ableitung gleich null, um die kritischen Punkte zu finden: \[ 0,03x^2 - 1,2x + 15 = 0 \] Diese quadratische Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel lösen: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Hier ist \( a = 0,03 \), \( b = -1,2 \), und \( c = 15 \). Setze die Werte ein und berechne die Lösungen für \( x \). 2. **Untersuchung der Art der Extrempunkte:** Berechne die zweite Ableitung der Kostenfunktion: \[ K''(x) = 0,06x - 1,2 \] Setze die kritischen Punkte in die zweite Ableitung ein, um zu bestimmen, ob es sich um Minima oder Maxima handelt: - Wenn \( K''(x) > 0 \), handelt es sich um ein lokales Minimum. - Wenn \( K''(x) < 0 \), handelt es sich um ein lokales Maximum. 3. **Wirtschaftliche Interpretation:** - Ein lokales Minimum der Kostenfunktion bedeutet, dass bei dieser Produktionsmenge die Kosten am geringsten sind. Dies ist der effizienteste Punkt, um die Produktion zu betreiben, da die Kosten pro Einheit am niedrigsten sind. - Ein lokales Maximum würde bedeuten, dass die Kosten bei dieser Produktionsmenge am höchsten sind, was in der Regel vermieden werden sollte. Diese Aufgabe hilft, die Konzepte der Differentialrechnung auf wirtschaftliche Probleme anzuwenden und zeigt, wie mathematische Analysen zur Optimierung von Produktionsprozessen genutzt werden können.

Eine anwendungsorientierte Aufgabe zu Extrempunkten für eine Kostenfunktion könnte wie folgt lauten: **Aufgabe:** Ein Unternehmen produziert und verkauft ein Produkt. Die Gesamtkosten \( K(x) \) in Euro für die Produktion von \( x \) Einheiten des Produkts sind durch die Funktion \( K(x) = 0,01x^3 - 0,6x^2 + 15x + 2000 \) gegeben. 1. Bestimme die Produktionsmenge \( x \), bei der die Kosten minimal sind. 2. Berechne die minimalen Kosten. 3. **Knackpunkt:** Aufgrund von Kapazitätsbeschränkungen kann das Unternehmen maximal 100 Einheiten produzieren. Überprüfe, ob die gefundene Produktionsmenge innerhalb dieser Beschränkung liegt. Falls nicht, bestimme die Kosten bei der maximalen Produktionsmenge. **Lösungsschritte:** 1. Finde die Ableitung der Kostenfunktion \( K'(x) \) und bestimme die kritischen Punkte, indem du \( K'(x) = 0 \) setzt. 2. Untersuche die kritischen Punkte mit der zweiten Ableitung \( K''(x) \), um festzustellen, ob es sich um ein Minimum handelt. 3. Vergleiche die gefundene Produktionsmenge mit der Kapazitätsgrenze von 100 Einheiten. 4. Berechne die Kosten bei der maximalen Produktionsmenge, falls die gefundene Menge die Kapazitätsgrenze überschreitet. Diese Aufgabe fordert nicht nur die Berechnung der Extrempunkte, sondern auch die Berücksichtigung realer Beschränkungen, was sie praxisnah und herausfordernd macht.

Um Extrempunkte einer Funktion zu berechnen, folge diesen Schritten: 1. **Funktion ableiten**: Bestimme die erste Ableitung der Funktion \( f(x) \). Diese Ableitung gibt die Steigung der Funktion an jedem Punkt an. 2. **Kritische Punkte finden**: Setze die erste Ableitung gleich null und löse die Gleichung \( f'(x) = 0 \). Die Lösungen sind die kritischen Punkte, an denen die Steigung der Funktion null ist, was auf mögliche Extrempunkte hinweist. 3. **Zweite Ableitung berechnen**: Bestimme die zweite Ableitung der Funktion \( f''(x) \). Diese gibt die Krümmung der Funktion an. 4. **Art der Extrempunkte bestimmen**: - **Lokales Minimum**: Wenn \( f''(x) > 0 \) an einem kritischen Punkt, dann hat die Funktion dort ein lokales Minimum. - **Lokales Maximum**: Wenn \( f''(x) < 0 \) an einem kritischen Punkt, dann hat die Funktion dort ein lokales Maximum. - **Sattelpunkt**: Wenn \( f''(x) = 0 \), kann es sich um einen Sattelpunkt handeln, und weitere Untersuchungen sind nötig. 5. **Werte der Extrempunkte berechnen**: Setze die x-Werte der Extrempunkte in die ursprüngliche Funktion \( f(x) \) ein, um die y-Werte der Extrempunkte zu erhalten. Diese Schritte helfen dir, die Extrempunkte einer Funktion zu identifizieren und zu klassifizieren.

Der Unterschied zwischen Extrempunkten und Extremwerten liegt in ihrer Definition und Bedeutung in der Mathematik, insbesondere in der Analysis. - **Extrempunkte** sind die Punkte auf dem Graphen einer Funktion, an denen die Funktion lokale Maxima oder Minima erreicht. Das bedeutet, dass in der Umgebung dieser Punkte die Funktion höhere oder niedrigere Werte annimmt Mathematisch betrachtet sind Extrempunkte oft die Stellen, an denen die erste Ableitung der Funktion gleich null ist oder nicht definiert ist. - **Extremwerte** hingegen sind die tatsächlichen Funktionswerte, die an den Extrempunkten erreicht werden. Das heißt, wenn du einen Extrempunkt gefunden hast, ist der Extremwert der Funktionswert an diesem Punkt. Zusammengefasst: Extrempunkte sind die Positionen (x-Werte), an denen die Funktion extrem ist, während Extremwerte die entsprechenden Funktionswerte (y-Werte) an diesen Punkten sind.

Um eine einfache Aufgabe in der Differentialrechnung zu lösen, betrachten wir die Funktion \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \). 1. **Symmetrie**: Die Funktion ist nicht symmetrisch, da \( f(-x) \neq f(x) \) und \( f(-x) \neq -f(x) \). 2. **Nullstellen**: Um die Nullstellen zu finden, setzen wir \( f(x) = 0 \): \[ x^3 - 3x^2 + 2 = 0 \] Durch Faktorisierung oder numerische Methoden finden wir die Nullstellen. Eine mögliche Nullstelle ist \( x = 1 \). Die vollständige Faktorisierung ergibt: \[ (x - 1)(x^2 - 2) = 0 \] Die Nullstellen sind \( x = 1, \sqrt{2}, -\sqrt{2} \). 3. **Extrempunkte**: Um die Extrempunkte zu finden, berechnen wir die erste Ableitung: \[ f'(x) = 3x^2 - 6x \] Setzen wir die Ableitung gleich null: \[ 3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0 \] Die kritischen Punkte sind \( x = 0 \) und \( x = 2 \). Um zu bestimmen, ob es sich um Maxima oder Minima handelt, verwenden wir die zweite Ableitung: \[ f''(x) = 6x - 6 \] - Für \( x = 0 \): \( f''(0) = -6 \) (Maximum) - Für \( x = 2 \): \( f''(2) = 6 \) (Minimum) 4. **Monotonie**: Die Funktion ist monoton steigend, wenn \( f'(x) > 0 \) und monoton fallend, wenn \( f'(x) < 0 \). - \( f'(x) < 0 \) für \( x < 0 \) (monoton fallend) - \( f'(x) > 0 \) für \( x > 2 \) (monoton steigend) - \( f'(x) = 0 \) bei \( x = 0 \) und \( x = 2 \). 5. **Wendepunkt**: Um den Wendepunkt zu finden, setzen wir die zweite Ableitung gleich null: \[ 6x - 6 = 0 \implies x = 1 \] Um den Wendepunkt zu bestimmen, berechnen wir \( f(1) \): \[ f(1) = 1^3 - 3(1^2) + 2 = 0 \] Der Wendepunkt ist also \( (1, 0) \). 6. **Krümmung**: Die Krümmung ist positiv, wenn \( f''(x) > 0 \) und negativ, wenn \( f''(x) < 0 \). - \( f''(x) < 0 \) für \( x < 1 \) (konkav) - \( f''(x) > 0 \) für \( x > 1 \) (konvex) Zusammenfassend: - Nullstellen: \( x = 1, \sqrt{2}, -\sqrt{2} \) - Extrempunkte: Maximum bei \( (0, 2) \), Minimum bei \( (2, -2) \) - Wendepunkt: \( (1, 0) \) - Monotonie: fallend für \( x < 0 \), steigend für \( x > 2 \) - Krümmung: konkav für \( x < 1 \), konvex für \( x > 1 \)

Um eine einfache Aufgabe in der Differentialrechnung zu lösen, betrachten wir die Funktion \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \). 1. **Symmetrie**: Die Funktion ist nicht symmetrisch, da sie nicht die Eigenschaften einer geraden oder ungeraden Funktion erfüllt. 2. **Nullstellen**: Um die Nullstellen zu finden, setzen wir \( f(x) = 0 \): \[ x^3 - 3x^2 + 2 = 0 \] Diese Gleichung kann durch Faktorisierung oder numerische Methoden gelöst werden. Die Nullstellen sind \( x = 1 \) und \( x = 2 \). 3. **Extrempunkte**: Um die Extrempunkte zu finden, berechnen wir die erste Ableitung: \[ f'(x) = 3x^2 - 6x \] Setzen wir die Ableitung gleich null: \[ 3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0 \] Die kritischen Punkte sind \( x = 0 \) und \( x = 2 \). Um zu bestimmen, ob es sich um Maxima oder Minima handelt, betrachten wir die zweite Ableitung: \[ f''(x) = 6x - 6 \] - Für \( x = 0 \): \( f''(0) = -6 \) (Maximum) - Für \( x = 2 \): \( f''(2) = 6 \) (Minimum) 4. **Monotonie**: Die Funktion ist monoton steigend, wenn \( f'(x) > 0 \) und monoton fallend, wenn \( f'(x) < 0 \). - \( f'(x) > 0 \) für \( x > 2 \) - \( f'(x) < 0 \) für \( 0 < x < 2 \) - \( f'(x) = 0 \) bei \( x = 0 \) und \( x = 2 \) 5. **Wendepunkt**: Um den Wendepunkt zu finden, setzen wir die zweite Ableitung gleich null: \[ 6x - 6 = 0 \implies x = 1 \] Der Wendepunkt ist bei \( x = 1 \). Um den y-Wert zu finden, setzen wir \( x = 1 \) in die ursprüngliche Funktion ein: \[ f(1) = 1^3 - 3(1^2) + 2 = 0 \] Der Wendepunkt ist also \( (1, 0) \). 6. **Krümmung**: Die Krümmung ist positiv, wenn \( f''(x) > 0 \) und negativ, wenn \( f''(x) < 0 \). - \( f''(x) > 0 \) für \( x > 1 \) (konvex) - \( f''(x) < 0 \) für \( x < 1 \) (konkav) Zusammenfassend: - Nullstellen: \( x = 1, 2 \) - Extrempunkte: Maximum bei \( (0, 2) \), Minimum bei \( (2, 0) \) - Wendepunkt: \( (1, 0) \) - Monotonie: fallend für \( 0 < x < 2 \), steigend für \( x > 2 \) - Krümmung: konkav für \( x < 1 \), konvex für \( x > 1 \)

Um die Extrempunkte, Hochpunkte und Tiefpunkte der Funktion \( f(x) = (3 - 4x)^2 + 32x \) zu bestimmen, folge diesen Schritten: 1. **Ableitung berechnen**: Zuerst berechnest du die erste Ableitung \( f'(x) \). \[ f(x) = (3 - 4x)^2 + 32x \] Verwende die Kettenregel und die Produktregel: \[ f'(x) = 2(3 - 4x)(-4) + 32 \] \[ f'(x) = -8(3 - 4x) + 32 \] \[ f'(x) = -24 + 32 + 32x \] \[ f'(x) = 32x + 8 \] 2. **Nullstellen der Ableitung finden**: Setze die Ableitung gleich null, um die kritischen Punkte zu finden. \[ 32x + 8 = 0 \] \[ 32x = -8 \] \[ x = -\frac{1}{4} \] 3. **Zweite Ableitung berechnen**: Um zu bestimmen, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt, berechne die zweite Ableitung \( f''(x) \). \[ f''(x) = 32 \] Da \( f''(x) = 32 > 0 \), handelt es sich um einen Tiefpunkt. 4. **Funktionswert am kritischen Punkt berechnen**: Berechne den Funktionswert \( f\left(-\frac{1}{4}\right) \). \[ f\left(-\frac{1}{4}\right) = (3 - 4(-\frac{1}{4}))^2 + 32(-\frac{1}{4}) \] \[ = (3 + 1)^2 - 8 \] \[ = 4^2 - 8 = 16 - 8 = 8 \] Zusammenfassend: - Der Tiefpunkt liegt bei \( \left(-\frac{1}{4}, 8\right) \). - Es gibt keinen Hochpunkt, da die zweite Ableitung positiv ist und somit die Funktion an diesem Punkt ein Minimum hat.

Um die Extrempunkte und Wendepunkte der Funktion \( f(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^3 + 3x^2 \) zu finden, müssen wir die ersten und zweiten Ableitungen der Funktion bestimmen. 1. **Erste Ableitung** \( f'(x) \): \[ f'(x) = x^3 - \frac{9}{2}x^2 + 6x \] 2. **Extrempunkte**: Setze die erste Ableitung gleich null: \[ x^3 - \frac{9}{2}x^2 + 6x = 0 \] Faktorisieren: \[ x(x^2 - \frac{9}{2}x + 6) = 0 \] Die Lösungen sind \( x = 0 \) und die Lösungen der quadratischen Gleichung \( x^2 - \frac{9}{2}x + 6 = 0 \). Verwende die Mitternachtsformel: \[ x = \frac{\frac{9}{2} \pm \sqrt{(\frac{9}{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{\frac{9}{2} \pm \sqrt{\frac{81}{4} - 24}}{2} \] \[ x = \frac{\frac{9}{2} \pm \sqrt{\frac{81 - 96}{4}}}{2} \] \[ x = \frac{\frac{9}{2} \pm \sqrt{-\frac{15}{4}}}{2} \] Da die Diskriminante negativ ist, gibt es keine reellen Lösungen für die quadratische Gleichung. Somit ist der einzige Extrempunkt bei \( x = 0 \). Berechne \( f(0) \): \[ f(0) = 0 \] Der Extrempunkt ist also \( (0, 0) \). 3. **Zweite Ableitung** \( f''(x) \): \[ f''(x) = 3x^2 - 9x + 6 \] 4. **Wendepunkte**: Setze die zweite Ableitung gleich null: \[ 3x^2 - 9x + 6 = 0 \] Teile durch 3: \[ x^2 - 3x + 2 = 0 \] Faktorisieren: \[ (x - 1)(x - 2) = 0 \] Die Lösungen sind \( x = 1 \) und \( x = 2 \). Berechne \( f(1) \) und \( f(2) \): \[ f(1) = \frac{1}{4}(1)^4 - \frac{3}{2}(1)^3 + 3(1)^2 = \frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 3 = \frac{1}{4} - \frac{6}{4} + \frac{12}{4} = \frac{7}{4} \] \[ f(2) = \frac{1}{4}(2)^4 - \frac{3}{2}(2)^3 + 3(2)^2 = \frac{1}{4}(16) - \frac{3}{2}(8) + 3(4) = 4 - 12 + 12 = 4 \] Zusammenfassend sind die Koordinaten der Extrempunkte und Wendepunkte: - Extrempunkt: \( (0, 0) \) - Wendepunkte: \( (1, \frac{7}{4}) \) und \( (2, 4) \)

Um Extrem- und Wendepunkte einer Funktion zu berechnen, folge diesen Schritten: 1. **Bestimme die Funktion**: Sei \( f(x) \) die gegebene Funktion. 2. **Berechne die erste Ableitung**: Finde \( f'(x) \). Diese gibt die Steigung der Funktion an. 3. **Setze die erste Ableitung gleich null**: Löse die Gleichung \( f'(x) = 0 \). Die Lösungen sind die Kandidaten für Extrempunkte. 4. **Bestimme die Art der Extrempunkte**: Berechne die zweite Ableitung \( f''(x) \). - Wenn \( f''(x) > 0 \) an einem Punkt, handelt es sich um ein Minimum. - Wenn \( f''(x) < 0 \), handelt es sich um ein Maximum. - Wenn \( f''(x) = 0 \), ist der Test nicht eindeutig, und du musst möglicherweise weitere Tests durchführen. 5. **Berechne die zweite Ableitung**: Finde \( f''(x) \) und setze sie gleich null, um Wendepunkte zu finden. 6. **Bestimme die Wendepunkte**: Löse die Gleichung \( f''(x) = 0 \). Überprüfe, ob sich das Vorzeichen von \( f''(x) \) an diesen Punkten ändert, um sicherzustellen, dass es sich um Wendepunkte handelt. Durch diese Schritte kannst du die Extrem- und Wendepunkte einer Funktion systematisch bestimmen.

Um die Extrempunkte des Graphen der Funktion \( f(x) = 2x^3 + 9x^2 + 24x + 2 \) zu berechnen, müssen die erste und zweite Ableitung der Funktion bestimmt und analysiert werden. 1. **Erste Ableitung \( f'(x) \):** \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 + 9x^2 + 24x + 2) = 6x^2 + 18x + 24 \] 2. **Kritische Punkte finden:** Setze die erste Ableitung gleich null und löse nach \( x \): \[ 6x^2 + 18x + 24 = 0 \] Diese Gleichung kann durch Division durch 6 vereinfacht werden: \[ x^2 + 3x + 4 = 0 \] Die Diskriminante dieser quadratischen Gleichung ist: \[ \Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7 \] Da die Diskriminante negativ ist, hat die Gleichung keine reellen Lösungen. Das bedeutet, dass es keine kritischen Punkte gibt und somit keine Extrempunkte. Zusammenfassend hat der Graph der Funktion \( f(x) = 2x^3 + 9x^2 + 24x + 2 \) keine Extrempunkte.

Für eine Schulaufgabe in Mathematik über Extremstellen, Extrempunkte Extremwerte solltest du die folgenden Konzepte und Techniken verstehen und anwenden können: 1. **Definitionen:** - **Extremstellen:** Punkte auf der x-Achse, an denen eine Funktion ein lokales Maximum oder Minimum hat. - **Extrempunkte:** Punkte auf dem Graphen der Funktion, die die Extremstellen darstellen (also (x, f(x))). - **Extremwerte:** Die Funktionswerte an den Extrempunkten (also f(x) an den Extremstellen). 2. **Erste Ableitung (f'):** - Die erste Ableitung gibt die Steigung der Funktion an. - An Extremstellen ist die erste Ableitung gleich null (f'(x) = 0). - Setze die erste Ableitung gleich null und löse nach x, um die Kandidaten für Extremstellen zu finden. 3. **Zweite Ableitung (f''):** - Die zweite Ableitung gibt die Krümmung der Funktion an. - Ein positives Ergebnis (f''(x) > 0) bedeutet, dass die Funktion an dieser Stelle ein lokales Minimum hat. - Ein negatives Ergebnis (f''(x) < 0) bedeutet, dass die Funktion an dieser Stelle ein lokales Maximum hat. - Ein Ergebnis von null (f''(x) = 0) er eine weitere Untersuchung, da dies ein Sattelpunkt sein könnte. 4. **Notwendige und hinreichende Bedingungen:** - Notwendige Bedingung: f'(x) = 0 oder f'(x) existiert nicht. - Hinreichende Bedingung: Überprüfung der zweiten Ableitung oder das Verhalten der ersten Ableitung in der Umgebung der kritischen Punkte. 5. **Graphische Interpretation:** - Verstehe, wie die Ableitungen den Graphen der Funktion beeinflussen. - Erkenne visuell, wo die Funktion steigt, fällt, und wo sie ihre Extrempunkte hat. 6. **Anwendungsbeispiele:** - Berechne Extremstellen und Extremwerte für konkrete Funktionen. - Interpretiere die Ergebnisse im Kontext von Anwendungsproblemen (z.B. Optimierungsprobleme). 7. **Zusammenhang mit Wendepunkten:** - Verstehe den Unterschied zwischen Extrempunkten und Wendepunkten (an Wendepunkten ändert sich das Krümmungsverhalten der Funktion). Diese Grundlagen sollten dir helfen, Aufgaben zu Extremstellen, Extrempunkten und Extremwerten erfolgreich zu bearbeiten.

Um die genannten mathematischen Konzepte zu verstehen und anzuwenden, hier eine kurze Erklärung zu jedem Punkt: 1. **Extrem- und Wendepunkte:** - **Extrempunkte** (Hoch- und Tiefpunkte) einer Funktion \( f(x) \) findet man, indem man die erste Ableitung \( f'(x) \) berechnet und die Stellen bestimmt, an denen \( f'(x) = 0 \) ist. Diese Stellen sind potenzielle Extrempunkte. Um zu bestätigen, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt, verwendet man die zweite Ableitung \( f''(x) \). Ist \( f''(x) > 0 \), handelt es sich um einen Tiefpunkt, ist \( f''(x) < 0 \), handelt es sich um einen Hochpunkt. - **Wendepunkte** sind Punkte, an denen die Krümmung der Funktion wechselt. Diese findet man, indem man die zweite Ableitung \( f''(x) \) berechnet und die Stellen bestimmt, an denen \( f''(x) = 0 \) ist. Um zu bestätigen, dass es sich um einen Wendepunkt handelt, muss die dritte Ableitung \( f'''(x) \) an dieser Stelle ungleich null sein. 2. **Vorzeichenwechselkriterium:** - Das Vorzeichenwechselkriterium wird verwendet, um die Art der Extrempunkte zu bestimmen. Wenn die erste Ableitung \( f'(x) \) an einer Stelle \( x_0 \) das Vorzeichen wechselt (von positiv zu negativ oder umgekehrt), dann ist \( x_0 \) ein Extrempunkt. Wechselt \( f'(x) \) von positiv zu negativ, handelt es sich um einen Hochpunkt; wechselt \( f'(x) \) von negativ zu positiv, handelt es sich um einen Tiefpunkt. 3. **Wendetangente:** - Die Wendetangente ist die Tangente an den Graphen der Funktion \( f(x) \) an einem Wendepunkt. Um die Gleichung der Wendetangente zu finden, berechnet man den Funktionswert \( f(x_0) \) und die Steigung \( f'(x_0) \) an der Wendestelle \( x_0 \). Die Gleichung der Tangente lautet dann \( y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) \). 4. **Monotonie:** - Die Monotonie einer Funktion beschreibt, ob die Funktion in einem bestimmten Intervall steigt oder fällt. Eine Funktion ist monoton steigend, wenn \( f'(x) > 0 \) für alle \( x \) in einem Intervall, und monoton fallend, wenn \( f'(x) < 0 \) für alle \( x \) in einem Intervall. 5. **Textaufgaben:** - Textaufgaben in der Mathematik erfordern oft die Anwendung der oben genannten Konzepte, um reale Probleme zu lösen. Zum Beispiel könnte eine Textaufgabe verlangen, den maximalen Gewinn eines Unternehmens zu bestimmen, was die Berechnung von Extrempunkten der Gewinnfunktion erfordert. Diese Konzepte sind grundlegend für das Verständnis der Differentialrechnung und deren Anwendung in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Naturwissenschaften.