Koordinaten aller Extrempunkte und Wendepunkte der Funktion 1/4x^4 - 3/2x^3 + 3x^2?

Um die Extrempunkte und Wendepunkte der Funktion \( f(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^3 + 3x^2 \) zu finden, müssen wir die ersten und zweiten Ableitungen der Funktion bestimmen.

1. **Erste Ableitung** \( f'(x) \):
\[
f'(x) = x^3 - \frac{9}{2}x^2 + 6x
\]

2. **Extrempunkte**:
Setze die erste Ableitung gleich null:
\[
x^3 - \frac{9}{2}x^2 + 6x = 0
\]
Faktorisieren:
\[
x(x^2 - \frac{9}{2}x + 6) = 0
\]
Die Lösungen sind \( x = 0 \) und die Lösungen der quadratischen Gleichung \( x^2 - \frac{9}{2}x + 6 = 0 \). Verwende die Mitternachtsformel:
\[
x = \frac{\frac{9}{2} \pm \sqrt{(\frac{9}{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}
\]
\[
x = \frac{\frac{9}{2} \pm \sqrt{\frac{81}{4} - 24}}{2}
\]
\[
x = \frac{\frac{9}{2} \pm \sqrt{\frac{81 - 96}{4}}}{2}
\]
\[
x = \frac{\frac{9}{2} \pm \sqrt{-\frac{15}{4}}}{2}
\]
Da die Diskriminante negativ ist, gibt es keine reellen Lösungen für die quadratische Gleichung. Somit ist der einzige Extrempunkt bei \( x = 0 \).

Berechne \( f(0) \):
\[
f(0) = 0
\]
Der Extrempunkt ist also \( (0, 0) \).

3. **Zweite Ableitung** \( f''(x) \):
\[
f''(x) = 3x^2 - 9x + 6
\]

4. **Wendepunkte**:
Setze die zweite Ableitung gleich null:
\[
3x^2 - 9x + 6 = 0
\]
Teile durch 3:
\[
x^2 - 3x + 2 = 0
\]
Faktorisieren:
\[
(x - 1)(x - 2) = 0
\]
Die Lösungen sind \( x = 1 \) und \( x = 2 \).

Berechne \( f(1) \) und \( f(2) \):
\[
f(1) = \frac{1}{4}(1)^4 - \frac{3}{2}(1)^3 + 3(1)^2 = \frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 3 = \frac{1}{4} - \frac{6}{4} + \frac{12}{4} = \frac{7}{4}
\]
\[
f(2) = \frac{1}{4}(2)^4 - \frac{3}{2}(2)^3 + 3(2)^2 = \frac{1}{4}(16) - \frac{3}{2}(8) + 3(4) = 4 - 12 + 12 = 4
\]

Zusammenfassend sind die Koordinaten der Extrempunkte und Wendepunkte:
- Extrempunkt: \( (0, 0) \)
- Wendepunkte: \( (1, \frac{7}{4}) \) und \( (2, 4) \)