Welche Funktion besitzt sowohl ein Minimum als auch ein Maximum und hat auf beiden Seiten eine Asymptote zur x-Achse?

Ein Beispiel für eine Funktion, die ein Minimum und ein Maximum besitzt und auf beiden Seiten (für \( x \to -\infty \) und \( x \to +\infty \)) die x-Achse als Asymptote hat, ist die Funktion

\[
f(x) = \frac{x^3}{1 + x^2}
\]

**Eigenschaften:**
- Für \( x \to \pm\infty \) gilt: \( f(x) \to 0 \) (x-Achse ist Asymptote).
- Die Funktion hat ein lokales Maximum und ein lokales Minimum.

**Begründung:**
- Die Ableitung \( f'(x) = \frac{3x^2(1 + x^2) - 2x^4}{(1 + x^2)^2} \) zeigt, dass es zwei Extremstellen gibt.
- Die Funktion ist für alle \( x \) definiert.

**Graphische Darstellung:**
Du kannst dir den Graphen z.B. bei [Desmos](https://www.desmos.com/calculator) oder [GeoGebra](https://www.geogebra.org/graphing) anschauen, um die Eigenschaften zu überprüfen.

**Zusammenfassung:**
\[
f(x) = \frac{x^3}{1 + x^2}
\]
ist eine Funktion mit Minimum, Maximum und der x-Achse als Asymptote auf beiden Seiten.