8 Fragen zu Kurvendiskussion

In der Kurvendiskussion wird das Verhalten einer Funktion \( f(x) \) untersucht, um ihre Eigenschaften und das Verhalten ihres Graphen zu analysieren. Hier sind die wichtigsten Schritte und Aspekte, die dabei betrachtet werden: 1. **Definitionsbereich bestimmen**: Feststellen, für welche Werte von \( x \) die Funktion definiert ist. 2. **Symmetrie untersuchen**: - **Achsensymmetrie**: Prüfen, ob \( f(x) = f(-x) \). - **Punktsymmetrie**: Prüfen, ob \( f(x) = -f(-x) \). 3. **Nullstellen berechnen**: Die Werte von \( x \) finden, für die \( f(x) = 0 \). 4. **Verhalten im Unendlichen**: Untersuchen, wie sich \( f(x) \) verhält, wenn \( x \) gegen \( \infty \) oder \( -\infty \) geht. 5. **Ableitungen berechnen**: - **Erste Ableitung \( f'(x) \)**: Bestimmen, um die Steigung der Funktion zu analysieren. - **Zweite Ableitung \( f''(x) \)**: Bestimmen, um das Krümmungsverhalten zu analysieren. 6. **Extremstellen finden**: - **Hoch- und Tiefpunkte**: Bestimmen durch Nullsetzen der ersten Ableitung \( f'(x) = 0 \) und Überprüfung des Vorzeichenwechsels. - **Monotonieverhalten**: Untersuchen, ob die Funktion in bestimmten Intervallen steigt oder fällt. 7. **Wendepunkte und Krümmungsverhalten**: - **Wendepunkte**: Bestimmen durch Nullsetzen der zweiten Ableitung \( f''(x) = 0 \) und Überprüfung des Vorzeichenwechsels. - **Krümmung**: Untersuchen, ob die Funktion in bestimmten Intervallen konvex oder konkav ist. 8. **Asymptoten bestimmen**: - **Vertikale Asymptoten**: Werte von \( x \) finden, bei denen die Funktion gegen \( \infty \) oder \( -\infty \) geht. - **Horizontale Asymptoten**: Werte von \( y \) finden, gegen die die Funktion strebt, wenn \( x \) gegen \( \infty \) oder \( -\infty \) geht. - **Schräge Asymptoten**: Falls vorhanden, bestimmen. Diese Schritte helfen, ein vollständiges Bild der Funktion und ihres Graphen zu erhalten.

Nein, Ansätze und Verhalten in der Kurvendiskussion sind nicht das Gleiche, obwohl sie miteinander verbunden sind. - **Ansätze**: Dies bezieht sich auf die Methoden und Techniken, die verwendet werden, um bestimmte Eigenschaften einer Funktion zu analysieren. Dazu gehören das Finden von Ableitungen, das Lösen von Gleichungen, das Bestimmen von Nullstellen, Extrempunkten, Wendepunkten und Asymptoten. - **Verhalten**: Dies bezieht sich auf das tatsächliche Verhalten der Funktion in bestimmten Bereichen oder an bestimmten Punkten. Dazu gehört das Untersuchen des Wachstums- oder Abnahmeverhaltens, das Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs (Grenzwerte), das Verhalten an Unstetigkeitsstellen und das allgemeine Verhalten der Funktion im Unendlichen. In der Kurvendiskussion werden Ansätze verwendet, um das Verhalten der Funktion zu bestimmen und zu beschreiben.

In der Kurvendiskussion werden verschiedene Ansätze verwendet, um das Verhalten und die Eigenschaften einer Funktion zu analysieren. Hier sind einige wichtige Ansätze: 1. **Definitionsbereich bestimmen**: Feststellen, für welche Werte die Funktion definiert ist. 2. **Symmetrie untersuchen**: Prüfen, ob die Funktion achsensymmetrisch (gerade Funktion) oder punktsymmetrisch (ungerade Funktion) ist. 3. **Nullstellen berechnen**: Bestimmen, an welchen Stellen die Funktion den Wert Null annimmt. 4. **Ableitungen berechnen**: Die erste und zweite Ableitung der Funktion bestimmen, um Informationen über Steigung und Krümmung zu erhalten. 5. **Extremstellen finden**: Mit Hilfe der ersten Ableitung die Stellen finden, an denen die Funktion lokale Maxima oder Minima hat. 6. **Wendepunkte bestimmen**: Mit Hilfe der zweiten Ableitung die Stellen finden, an denen die Funktion ihr Krümmungsverhalten ändert. 7. **Verhalten im Unendlichen analysieren**: Untersuchen, wie sich die Funktion verhält, wenn die Variable gegen unendlich oder minus unendlich geht. 8. **Graphen skizzieren**: Basierend auf den gewonnenen Informationen den Graphen der Funktion zeichnen. Diese Ansätze helfen dabei, ein umfassendes Bild der Funktion und ihres Graphen zu erhalten.

Um die Kurvendiskussion der Funktion \( f(x) = 0,5x^3 - 3x^2 + 5x \) durchzuführen sind folgende Schritte notwendig: 1. **Definitionsbereich**: Die Funktion ist für alle reellen Zahlen definiert, also \( D = \mathbb{R} \). 2. **Ableitungen**: - Erste Ableitung \( f'(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(0,5x^3 - 3x^2 + 5x) = 1,5x^2 - 6x + 5 \] - Zweite Ableitung \( f''(x) \): \[ f''(x) = \frac{d}{dx}(1,5x^2 - 6x + 5) = 3x - 6 \] 3. **Extrempunkte**: Setze die erste Ableitung gleich null: \[ 1,5x^2 - 6x + 5 = 0 \] Verwende die Mitternachtsformel: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1,5 \cdot 5}}{2 \cdot 1,5} \] \[ = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 30}}{3} = \frac{6 \pm \sqrt{6}}{3} \] \[ = 2 \pm \frac{\sqrt{6}}{3} \] Berechne die y-Werte der Extrempunkte: \[ f\left(2 + \frac{\sqrt{6}}{3}\right) \quad \text{und} \quad f\left(2 - \frac{\sqrt{6}}{3}\right) \] 4. **Wendetest**: Bestimme die Art der Extrempunkte mit der zweiten Ableitung: - Setze die x-Werte der Extrempunkte in \( f''(x) \) ein: - Wenn \( f''(x) > 0 \), dann ist es ein Minimum. - Wenn \( f''(x) < 0 \), dann ist es ein Maximum. 5. **Nullstellen**: Setze \( f(x) = 0 \): \[ 0,5x^3 - 3x^2 + 5x = 0 \implies x(0,5x^2 - 3x + 5) = 0 \] Eine Nullstelle ist \( x = 0 \). Die quadratische Gleichung hat keine reellen Lösungen, da die Diskriminante negativ ist. 6. **Verhalten im Unendlichen**: - Für \( x \to \infty \) und \( x \to -\infty \) betrachtet man den höchsten Grad: \[ f(x) \to \infty \quad \text{für} \quad x \to \infty \] \[ f(x) \to -\infty \quad \text{für} \quad x \to -\infty \] 7. **Graph der Funktion**: Zeichne den Graphen unter Berücksichtigung der gefundenen Extrempunkte, Nullstellen und dem Verhalten im Unendlichen. Diese Schritte geben dir eine umfassende Kurvendiskussion der Funktion \( f(x) = 0,5x^3 - 3x^2 + 5x \).

Um eine Kurvendiskussion für die Funktion \( f(x) = x^2(x - 2) \) durchzuführen, sind folgende Schritte notwendig: 1. **Definitionsbereich**: Die Funktion ist für alle reellen Zahlen definiert, also \( D = \mathbb{R} \). 2. **Nullstellen**: Setze \( f(x) = 0 \): \[ x^2(x - 2) = 0 \] Die Nullstellen sind \( x = 0 \) (doppelte Nullstelle) und \( x = 2 \). 3. **Ableitungen**: - Erste Ableitung \( f'(x) \): \[ f'(x) = 2x(x - 2) + x^2 \cdot 1 = 2x^2 - 4x + x^2 = 3x^2 - 4x \] - Setze \( f'(x) = 0 \): \[ 3x^2 - 4x = 0 \implies x(3x - 4) = 0 \] Die kritischen Punkte sind \( x = 0 \) und \( x = \frac{4}{3} \). 4. **Zweite Ableitung**: \[ f''(x) = 6x - 4 \] Setze \( f''(x) = 0 \): \[ 6x - 4 = 0 \implies x = \frac{2}{3} \] 5. **Extrempunkte**: - Bestimme die Werte von \( f \) an den kritischen Punkten: - \( f(0) = 0^2(0 - 2) = 0 \) - \( f\left(\frac{4}{3}\right) = \left(\frac{4}{3}\right)^2\left(\frac{4}{3} - 2\right) = \frac{16}{9} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{32}{27} \) - Bestimme die Art der Extrempunkte mit der zweiten Ableitung: - \( f''(0) = 6(0) - 4 = -4 \) (Maximum) - \( f''\left(\frac{4}{3}\right) = 6\left(\frac{4}{3}\right) - 4 = 8 - 4 = 4 \) (Minimum) 6. **Wendepunkte**: Setze \( f''(x) = 0 \): - Der Wendepunkt ist bei \( x = \frac{2}{3} \). - Bestimme \( f\left(\frac{2}{3}\right) \): \[ f\left(\frac{2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^2\left(\frac{2}{3} - 2\right) = \frac{4}{9} \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) = -\frac{16}{27} \] 7. **Verhalten im Unendlichen**: - Für \( x \to \infty \) und \( x \to -\infty \) geht \( f(x) \) gegen \( \infty \). 8. **Graph der Funktion**: - Die Funktion hat ein Maximum bei \( (0, 0) \), ein Minimum bei \( \left(\frac{4}{3}, -\frac{32}{27}\right) \) und einen Wendepunkt bei \( \left(\frac{2}{3}, -\frac{16}{27}\right) \). Zusammenfassend hat die Funktion \( f(x) = x^2(x - 2) \) die Nullstellen \( x = 0 \) (doppelt) und \( x = 2 \), ein Maximum bei \( (0, 0) \), ein Minimum bei \( \left(\frac{4}{3}, -\frac{32}{27}\right) \) und einen Wendepunkt bei \( \left(\frac{2}{3}, -\frac{16}{27}\right) \).

Um eine vollständige Kurvendiskussion der Funktion \( f(x) = x^2 + 7x + 10 \) durchzuführen, sind folgende Schritte notwendig: 1. **Definitionsbereich**: Der Definitionsbereich ist \( D = \mathbb{R} \), da es sich um ein Polynom handelt. 2. **Symmetrie**: Die Funktion ist eine Parabel und hat keine Achsensymmetrie (da der Koeffizient von \( x \) ungerade ist). Sie hat auch keine Punktsymmetrie, da der Scheitelpunkt nicht im Ursprung liegt. 3. **Nullstellen**: Um die Nullstellen zu finden, setzt man \( f(x) = 0 \): \[ x^2 + 7x + 10 = 0 \] Diese Gleichung kann mit der Mitternachtsformel gelöst werden: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \frac{-7 \pm 3}{2} \] Die Nullstellen sind: \[ x_1 = \frac{-4}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-10}{2} = -5 \] 4. **Extrempunkte**: Um die Extrempunkte zu finden, berechnet man die erste Ableitung: \[ f'(x) = 2x + 7 \] Setze die Ableitung gleich null: \[ 2x + 7 = 0 \Rightarrow x = -\frac{7}{2} = -3.5 \] Um den y-Wert des Extrempunkts zu finden, setzt man \( x = -3.5 \) in die Funktion ein: \[ f\left(-\frac{7}{2}\right) = \left(-\frac{7}{2}\right)^2 + 7\left(-\frac{7}{2}\right) + 10 = \frac{49}{4} - \frac{49}{2} + 10 = \frac{49}{4} - \frac{98}{4} + \frac{40}{4} = -\frac{9}{4} \] Der Extrempunkt ist also \( E\left(-\frac{7}{2}, -\frac{9}{4}\right) \). 5. **Wendepunkte**: Die zweite Ableitung ist: \[ f''(x) = 2 \] Da die zweite Ableitung konstant ist und nie null wird, gibt es keine Wendepunkte. 6. **Verhalten im Unendlichen**: Da es sich um eine nach oben geöffnete Parabel handelt (der Koeffizient von \( x^2 \) ist positiv), gilt: \[ \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty \quad \text{und} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty \] 7. **Graph der Funktion**: Die Parabel hat ihre Nullstellen bei \( x = -2 \) und \( x = -5 \), einen Tiefpunkt bei \( E\left(-\frac{7}{2}, -\frac{9}{4}\right) \) und öffnet nach oben. Zusammenfassend ergibt sich für die Kurvendiskussion der Funktion \( f(x) = x^2 + 7x + 10 \): - **Definitionsbereich**: \( D = \mathbb{R} \) - **Nullstellen**: \( x_1 = -2, x_2 = -5 \) - **Extrempunkt**: \( E\left(-\frac{7}{2}, -\frac{9}{4}\right) \) - **Wendepunkte**: keine - **Verhalten im Unendlichen**: \( \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty \), \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty \)

Um eine vollständige Kurvendiskussion für die Funktion \( f(x) = -0,5x^3 + 3x^2 - 4 \) durchzuführen, sind folgende Schritte notwendig: 1. **Definitionsbereich**: Die Funktion ist ein Polynom und somit für alle reellen Zahlen definiert. Der Definitionsbereich ist also \( D = \mathbb{R} \). 2. **Symmetrie**: Um die Symmetrie zu überprüfen, schauen wir, ob die Funktion achsensymmetrisch (gerade) oder punktsymmetrisch (ungerade) ist: - \( f(-x) = -0,5(-x)^3 + 3(-x)^2 - 4 = 0,5x^3 + 3x^2 - 4 \) - Da \( f(-x) \neq f(x) \) und \( f(-x) \neq -f(x) \), ist die Funktion weder gerade noch ungerade. 3. **Ableitungen**: - Erste Ableitung \( f'(x) \): \[ f'(x) = -1,5x^2 + 6x \] - Zweite Ableitung \( f''(x) \): \[ f''(x) = -3x + 6 \] 4. **Extrempunkte**: - Setze \( f'(x) = 0 \): \[ -1,5x^2 + 6x = 0 \implies x(-1,5x + 6) = 0 \implies x = 0 \text{ oder } x = 4 \] - Berechne die Funktionswerte: \[ f(0) = -4, \quad f(4) = -0,5(4^3) + 3(4^2) - 4 = -32 + 48 - 4 = 12 \] - Extrempunkte: \( E_1(0, -4) \) (Minimum), \( E_2(4, 12) \) (Maximum). 5. **Wendepunkte**: - Setze \( f''(x) = 0 \): \[ -3x + 6 = 0 \implies x = 2 \] - Berechne den Funktionswert: \[ f(2) = -0,5(2^3) + 3(2^2) - 4 = -4 + 12 - 4 = 4 \] - Wendepunkt: \( W(2, 4) \). 6. **Verhalten im Unendlichen**: - Für \( x \to \infty \) und \( x \to -\infty \): \[ f(x) \to -\infty \text{ (da der höchste Grad negativ ist)} \] 7. **Graph der Funktion**: - Die Funktion hat ein Minimum bei \( (0, -4) \), ein Maximum bei \( (4, 12) \) und einen Wendepunkt bei \( (2, 4) \). Der Graph verläuft von \( -\infty \) für \( x \to -\infty \) bis zum Maximum und fällt dann wieder auf \( -\infty \) für \( x \to \infty \). Zusammenfassend ergibt sich: - **Definitionsbereich**: \( D = \mathbb{R} \) - **Symmetrie**: keine - **Extrempunkte**: Minimum bei \( (0, -4) \), Maximum bei \( (4, 12) \) - **Wendepunkt**: \( (2, 4) \) - **Verhalten im Unendlichen**: \( f(x) \to -\infty \) für \( x \to \pm \infty \) Diese Informationen ermöglichen eine vollständige Analyse der Funktion.

Ein Sattelpunkt in der Mathematik ist ein Punkt auf der Oberfläche einer Funktion, der weder ein lokales Maximum noch ein lokales Minimum ist, aber in einer Richtung wie ein Maximum und in einer anderen Richtung ein Minimum aussieht. Um einen Spunkt zu identifizieren, wird oft die Ableitung der Funktion verwendet. Hier sind Schritte zur Bestimmung eines Sattelpts: 1.Finde die kritischen Punkte**: Setze die ersten partiellen Ableungen der Funktion gleich null und löse Gleichungssystem, um die krit Punkte zu finden. 2. **Untersuche die zweiten Ableitungen**: Berechne die zweiten partiellen Ableitungen der Funktion. 3. **Verwende die Hesse-Matrix**: Erstelle die Hesse-Matrix (eine Matrix der zweiten partiellen Ableitungen) und berechne deren Determinante. 4. **Bestimme die Natur der kritischen Punkte**: - Wenn die Determinante der Hesse-Matrix positiv ist und die zweiten Ableitungen positiv sind, handelt es sich um ein lokales Minimum. - Wenn die Determinante der Hesse-Matrix positiv ist und die zweiten Ableitungen negativ sind, handelt es sich um ein lokales Maximum. - Wenn die Determinante der Hesse-Matrix negativ ist, handelt es sich um einen Sattelpunkt. Ein klassisches Beispiel eines Sattelpunkts ist der Punkt (0,0) der Funktion \( f(x,y) = x^2 - y^2 \). Hier ist \( f_x = 2x \) und \( f_y = -2y \), was bei \( x = 0 \) und \( y = 0 \) null ergibt. Die Hesse-Matrix ist: \[ H = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \] Die Determinante von \( H \) ist \( 2 \cdot (-2) - 0 \cdot 0 = -4 \), was negativ ist, also ist (0,0) ein Sattelpunkt.