Eine Kurvendiskussion ist eine systematische Untersuchung des Verlaufs einer mathematischen Funktion, meist einer Funktion f(x). Ziel ist es, möglichst viele Eigenschaften der Funktion zu bestimm...
Kurvendiskussion der Funktion f(x) = -0,5x² + 3x² - 4 durchführen.
Antwort vomUm eine vollständige Kurvendiskussion für die Funktion \( f(x) = -0,5x^3 + 3x^2 - 4 \) durchzuführen, sind folgende Schritte notwendig: 1. **Definitionsbereich**: Die Funktion ist ein Polynom und somit für alle reellen Zahlen definiert. Der Definitionsbereich ist also \( D = \mathbb{R} \). 2. **Symmetrie**: Um die Symmetrie zu überprüfen, schauen wir, ob die Funktion achsensymmetrisch (gerade) oder punktsymmetrisch (ungerade) ist: - \( f(-x) = -0,5(-x)^3 + 3(-x)^2 - 4 = 0,5x^3 + 3x^2 - 4 \) - Da \( f(-x) \neq f(x) \) und \( f(-x) \neq -f(x) \), ist die Funktion weder gerade noch ungerade. 3. **Ableitungen**: - Erste Ableitung \( f'(x) \): \[ f'(x) = -1,5x^2 + 6x \] - Zweite Ableitung \( f''(x) \): \[ f''(x) = -3x + 6 \] 4. **Extrempunkte**: - Setze \( f'(x) = 0 \): \[ -1,5x^2 + 6x = 0 \implies x(-1,5x + 6) = 0 \implies x = 0 \text{ oder } x = 4 \] - Berechne die Funktionswerte: \[ f(0) = -4, \quad f(4) = -0,5(4^3) + 3(4^2) - 4 = -32 + 48 - 4 = 12 \] - Extrempunkte: \( E_1(0, -4) \) (Minimum), \( E_2(4, 12) \) (Maximum). 5. **Wendepunkte**: - Setze \( f''(x) = 0 \): \[ -3x + 6 = 0 \implies x = 2 \] - Berechne den Funktionswert: \[ f(2) = -0,5(2^3) + 3(2^2) - 4 = -4 + 12 - 4 = 4 \] - Wendepunkt: \( W(2, 4) \). 6. **Verhalten im Unendlichen**: - Für \( x \to \infty \) und \( x \to -\infty \): \[ f(x) \to -\infty \text{ (da der höchste Grad negativ ist)} \] 7. **Graph der Funktion**: - Die Funktion hat ein Minimum bei \( (0, -4) \), ein Maximum bei \( (4, 12) \) und einen Wendepunkt bei \( (2, 4) \). Der Graph verläuft von \( -\infty \) für \( x \to -\infty \) bis zum Maximum und fällt dann wieder auf \( -\infty \) für \( x \to \infty \). Zusammenfassend ergibt sich: - **Definitionsbereich**: \( D = \mathbb{R} \) - **Symmetrie**: keine - **Extrempunkte**: Minimum bei \( (0, -4) \), Maximum bei \( (4, 12) \) - **Wendepunkt**: \( (2, 4) \) - **Verhalten im Unendlichen**: \( f(x) \to -\infty \) für \( x \to \pm \infty \) Diese Informationen ermöglichen eine vollständige Analyse der Funktion.
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