Kurvendiskussion der Funktion x^2(x-2)

Question

Kurvendiskussion der Funktion x^2(x-2)

Antwort

Verwandte Fragen

Einfacher Beweis des Satzes von Vieta.

(A^3 - b^3)(a^3 + b^3)?

Vereinfache (x+6)(x+6).

x² - 6 - (x + 2)(x - 2) + 2x?

Nullstellen berechnen für x^(3)+4x^(2)+3x

Accepted Answer

Um eine Kurvendiskussion für die Funktion \( f(x) = x^2(x - 2) \) durchzuführen, sind folgende Schritte notwendig: 1. **Definitionsbereich**: Die Funktion ist für alle reellen Zahlen definiert, also \( D = \mathbb{R} \). 2. **Nullstellen**: Setze \( f(x) = 0 \): \[ x^2(x - 2) = 0 \] Die Nullstellen sind \( x = 0 \) (doppelte Nullstelle) und \( x = 2 \). 3. **Ableitungen**: - Erste Ableitung \( f'(x) \): \[ f'(x) = 2x(x - 2) + x^2 \cdot 1 = 2x^2 - 4x + x^2 = 3x^2 - 4x \] - Setze \( f'(x) = 0 \): \[ 3x^2 - 4x = 0 \implies x(3x - 4) = 0 \] Die kritischen Punkte sind \( x = 0 \) und \( x = \frac{4}{3} \). 4. **Zweite Ableitung**: \[ f''(x) = 6x - 4 \] Setze \( f''(x) = 0 \): \[ 6x - 4 = 0 \implies x = \frac{2}{3} \] 5. **Extrempunkte**: - Bestimme die Werte von \( f \) an den kritischen Punkten: - \( f(0) = 0^2(0 - 2) = 0 \) - \( f\left(\frac{4}{3}\right) = \left(\frac{4}{3}\right)^2\left(\frac{4}{3} - 2\right) = \frac{16}{9} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{32}{27} \) - Bestimme die Art der Extrempunkte mit der zweiten Ableitung: - \( f''(0) = 6(0) - 4 = -4 \) (Maximum) - \( f''\left(\frac{4}{3}\right) = 6\left(\frac{4}{3}\right) - 4 = 8 - 4 = 4 \) (Minimum) 6. **Wendepunkte**: Setze \( f''(x) = 0 \): - Der Wendepunkt ist bei \( x = \frac{2}{3} \). - Bestimme \( f\left(\frac{2}{3}\right) \): \[ f\left(\frac{2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^2\left(\frac{2}{3} - 2\right) = \frac{4}{9} \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) = -\frac{16}{27} \] 7. **Verhalten im Unendlichen**: - Für \( x \to \infty \) und \( x \to -\infty \) geht \( f(x) \) gegen \( \infty \). 8. **Graph der Funktion**: - Die Funktion hat ein Maximum bei \( (0, 0) \), ein Minimum bei \( \left(\frac{4}{3}, -\frac{32}{27}\right) \) und einen Wendepunkt bei \( \left(\frac{2}{3}, -\frac{16}{27}\right) \). Zusammenfassend hat die Funktion \( f(x) = x^2(x - 2) \) die Nullstellen \( x = 0 \) (doppelt) und \( x = 2 \), ein Maximum bei \( (0, 0) \), ein Minimum bei \( \left(\frac{4}{3}, -\frac{32}{27}\right) \) und einen Wendepunkt bei \( \left(\frac{2}{3}, -\frac{16}{27}\right) \).

Accepted Answer

Der Satz von Vieta beschreibt die Beziehungen zwischen den Koeffizienten eines Polynoms und den Wurzeln dieses Polynoms. Für ein quadratisches Polynom der Form \( ax^2 + bx + c = 0 \) mit den Wur... [mehr]

Accepted Answer

Der Satz von Vieta beschreibt die Beziehungen zwischen den Koeffizienten eines Polynoms und den Wurzeln dieses Polynoms. Für ein quadratisches Polynom der Form \( ax^2 + bx + c = 0 \) mit den Wurzeln \( x_1 \) und \( x_2 \) gilt: 1. Die Summe der Wurzeln: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) 2. Das Produkt der Wurzeln: \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \) **Ein einfacher Beweis:** 1. **Polynom umformen:** Beginne mit der allgemeinen Form des quadratischen Polynoms: \[ ax^2 + bx + c = 0 \] 2. **Wurzeln ausdrücken:** Angenommen, die Wurzeln \( x_1 \) und \( x_2 \) sind Lösungen der Gleichung. Dann kann das Polynom auch als Produkt der Wurzeln geschrieben werden: \[ a(x - x_1)(x - x_2) = 0 \] 3. **Ausmultiplizieren:** Multipliziere die Klammern aus: \[ a(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2) = 0 \] Dies ergibt: \[ ax^2 - a(x_1 + x_2)x + ax_1x_2 = 0 \] 4. **Vergleich der Koeffizienten:** Vergleiche die Koeffizienten mit der ursprünglichen Form \( ax^2 + bx + c = 0 \): - Der Koeffizient von \( x \) gibt uns \( -a(x_1 + x_2) = b \), was zu \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) führt. - Der konstante Term ergibt \( ax_1x_2 = c \), was zu \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \) führt. Somit sind die Beziehungen, die der Satz von Vieta beschreibt, bewiesen.

Accepted Answer

Der Ausdruck \((A^3 - B^3)(A^3 + B^3)\) kann mithilfe der Identität für die Differenz und die Summe von Kuben vereinfacht werden. Zuerst erkennen wir, dass: \[ A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + A... [mehr]

Accepted Answer

Der Ausdruck \((A^3 - B^3)(A^3 + B^3)\) kann mithilfe der Identität für die Differenz und die Summe von Kuben vereinfacht werden. Zuerst erkennen wir, dass: \[ A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2) \] und \[ A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2) \] Wenn wir diese beiden Identitäten kombinieren, erhalten wir: \[ (A^3 - B^3)(A^3 + B^3) = (A - B)(A^2 + AB + B^2)(A + BA^2 - AB + B^2) \] Das Produkt \((A^3 - B^3)(A^3 + B^3)\) kann auch als \((A^6 - B^6)\) geschrieben werden, da es sich um die Differenz der sechsten Potenzen handelt. Zusammenfassend ergibt sich: \[ (A^3 - B^3)(A^3 + B^3) = A^6 - B^6 \]

Accepted Answer

Um den Ausdruck \((x + 6)(x + 6)\) zu vereinfachen, kannst du die binomische Formel verwenden. Dies ist ein Quadrat eines Binoms, das wie folgt aussieht: \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \] In deinem... [mehr]

Accepted Answer

Um den Ausdruck \((x + 6)(x + 6)\) zu vereinfachen, kannst du die binomische Formel verwenden. Dies ist ein Quadrat eines Binoms, das wie folgt aussieht: \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \] In deinem Fall ist \(a = x\) und \(b = 6\). Daher ergibt sich: \[ (x + 6)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2 \] Das vereinfacht sich zu: \[ x^2 + 12x + 36 \] Der vereinfachte Ausdruck ist also: \[ x^2 + 12x + 36 \]

Accepted Answer

Um den Ausdruck \( x^2 - 6 - (x + 2)(x - 2) + 2x \) zu vereinfachen, folge diesen Schritten: 1. Berechne das Produkt \( (x + 2)(x - 2) \): \[ (x + 2)(x - 2 = x^2 4 ] 2. Setze das Ergebnis in... [mehr]

Accepted Answer

Um den Ausdruck \( x^2 - 6 - (x + 2)(x - 2) + 2x \) zu vereinfachen, folge diesen Schritten: 1. Berechne das Produkt \( (x + 2)(x - 2) \): \[ (x + 2)(x - 2 = x^2 4 ] 2. Setze das Ergebnis in den ursprünglichen Ausdruck ein: \[ x^2 - 6 - (x^2 - 4) + 2x \] 3. Vereinfache den Ausdruck: \[ x^2 - 6 - x^2 + 4 + 2x \] 4. Die \( x^2 \) Terme heben sich auf: \[ -6 + 4 + 2x = 2x - 2 \] Der vereinfachte Ausdruck ist also: \[ 2x - 2 \]

Accepted Answer

Um die Nullstellen der Funktion \( f(x) = x^3 + 4x^2 + 3x \) zu berechnen, setzt man die Funktion gleich null: \[ x^3 + 4x^2 + 3x = 0 \] Zuerst kann man \( x \) ausklammern: \[ x(x^2 + 4x + 3) = 0... [mehr]

Accepted Answer

Um die Nullstellen der Funktion \( f(x) = x^3 + 4x^2 + 3x \) zu berechnen, setzt man die Funktion gleich null: \[ x^3 + 4x^2 + 3x = 0 \] Zuerst kann man \( x \) ausklammern: \[ x(x^2 + 4x + 3) = 0 \] Das ergibt eine Nullstelle bei \( x = 0 \). Jetzt müssen wir die quadratische Gleichung \( x^2 + 4x + 3 = 0 \) lösen. Dazu verwenden wir die Mitternachtsformel: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Hier ist \( a = 1 \), \( b = 4 \) und \( c = 3 \): 1. Berechne die Diskriminante: \[ b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \] 2. Setze die Werte in die Mitternachtsformel ein: \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 2}{2} \] Das ergibt zwei Lösungen: \[ x_1 = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \] \[ x_2 = \frac{-4 - 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \] Die Nullstellen der Funktion sind also: 1. \( x = 0 \) 2. \( x = -1 \) 3. \( x = -3 \)