Kurvendiskussion der Funktion x^2(x-2)

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Kurvendiskussion der Funktion x^2(x-2)

Antwort

Verwandte Fragen

Was ist eine ganzrationale Funktion?

Einfacher Beweis des Satzes von Vieta.

(A^3 - b^3)(a^3 + b^3)?

Accepted Answer

Um eine Kurvendiskussion für die Funktion \( f(x) = x^2(x - 2) \) durchzuführen, sind folgende Schritte notwendig: 1. **Definitionsbereich**: Die Funktion ist für alle reellen Zahlen definiert, also \( D = \mathbb{R} \). 2. **Nullstellen**: Setze \( f(x) = 0 \): \[ x^2(x - 2) = 0 \] Die Nullstellen sind \( x = 0 \) (doppelte Nullstelle) und \( x = 2 \). 3. **Ableitungen**: - Erste Ableitung \( f'(x) \): \[ f'(x) = 2x(x - 2) + x^2 \cdot 1 = 2x^2 - 4x + x^2 = 3x^2 - 4x \] - Setze \( f'(x) = 0 \): \[ 3x^2 - 4x = 0 \implies x(3x - 4) = 0 \] Die kritischen Punkte sind \( x = 0 \) und \( x = \frac{4}{3} \). 4. **Zweite Ableitung**: \[ f''(x) = 6x - 4 \] Setze \( f''(x) = 0 \): \[ 6x - 4 = 0 \implies x = \frac{2}{3} \] 5. **Extrempunkte**: - Bestimme die Werte von \( f \) an den kritischen Punkten: - \( f(0) = 0^2(0 - 2) = 0 \) - \( f\left(\frac{4}{3}\right) = \left(\frac{4}{3}\right)^2\left(\frac{4}{3} - 2\right) = \frac{16}{9} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{32}{27} \) - Bestimme die Art der Extrempunkte mit der zweiten Ableitung: - \( f''(0) = 6(0) - 4 = -4 \) (Maximum) - \( f''\left(\frac{4}{3}\right) = 6\left(\frac{4}{3}\right) - 4 = 8 - 4 = 4 \) (Minimum) 6. **Wendepunkte**: Setze \( f''(x) = 0 \): - Der Wendepunkt ist bei \( x = \frac{2}{3} \). - Bestimme \( f\left(\frac{2}{3}\right) \): \[ f\left(\frac{2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^2\left(\frac{2}{3} - 2\right) = \frac{4}{9} \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) = -\frac{16}{27} \] 7. **Verhalten im Unendlichen**: - Für \( x \to \infty \) und \( x \to -\infty \) geht \( f(x) \) gegen \( \infty \). 8. **Graph der Funktion**: - Die Funktion hat ein Maximum bei \( (0, 0) \), ein Minimum bei \( \left(\frac{4}{3}, -\frac{32}{27}\right) \) und einen Wendepunkt bei \( \left(\frac{2}{3}, -\frac{16}{27}\right) \). Zusammenfassend hat die Funktion \( f(x) = x^2(x - 2) \) die Nullstellen \( x = 0 \) (doppelt) und \( x = 2 \), ein Maximum bei \( (0, 0) \), ein Minimum bei \( \left(\frac{4}{3}, -\frac{32}{27}\right) \) und einen Wendepunkt bei \( \left(\frac{2}{3}, -\frac{16}{27}\right) \).

Accepted Answer

Eine ganzrationale Funktion ist eine Funktion, die durch ein Polynom dargestellt wird. Das bedeutet, sie hat die Form f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ Dabei sind a₀, a₁, ..., aₙ reelle Z... [mehr]

Accepted Answer

Eine ganzrationale Funktion ist eine Funktion, die durch ein Polynom dargestellt wird. Das bedeutet, sie hat die Form f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ Dabei sind a₀, a₁, ..., aₙ reelle Zahlen (die sogenannten Koeffizienten) und n ist eine natürliche Zahl (der Grad des Polynoms). Die Variable x darf nur mit ganzzahligen, nicht-negativen Exponenten vorkommen. Es gibt keine Brüche, Wurzeln oder andere Funktionen von x. Beispiele für ganzrationale Funktionen: - f(x) = 2x³ - 5x + 7 (Polynom dritten Grades) - f(x) = x² + 4x + 4 (Polynom zweiten Grades) - f(x) = 5 (Polynom nullten Grades) Ganzrationale Funktionen werden auch als Polynomfunktionen bezeichnet.

Accepted Answer

Der Satz von Vieta beschreibt die Beziehungen zwischen den Koeffizienten eines Polynoms und den Wurzeln dieses Polynoms. Für ein quadratisches Polynom der Form \( ax^2 + bx + c = 0 \) mit den Wur... [mehr]

Accepted Answer

Der Satz von Vieta beschreibt die Beziehungen zwischen den Koeffizienten eines Polynoms und den Wurzeln dieses Polynoms. Für ein quadratisches Polynom der Form \( ax^2 + bx + c = 0 \) mit den Wurzeln \( x_1 \) und \( x_2 \) gilt: 1. Die Summe der Wurzeln: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) 2. Das Produkt der Wurzeln: \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \) **Ein einfacher Beweis:** 1. **Polynom umformen:** Beginne mit der allgemeinen Form des quadratischen Polynoms: \[ ax^2 + bx + c = 0 \] 2. **Wurzeln ausdrücken:** Angenommen, die Wurzeln \( x_1 \) und \( x_2 \) sind Lösungen der Gleichung. Dann kann das Polynom auch als Produkt der Wurzeln geschrieben werden: \[ a(x - x_1)(x - x_2) = 0 \] 3. **Ausmultiplizieren:** Multipliziere die Klammern aus: \[ a(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2) = 0 \] Dies ergibt: \[ ax^2 - a(x_1 + x_2)x + ax_1x_2 = 0 \] 4. **Vergleich der Koeffizienten:** Vergleiche die Koeffizienten mit der ursprünglichen Form \( ax^2 + bx + c = 0 \): - Der Koeffizient von \( x \) gibt uns \( -a(x_1 + x_2) = b \), was zu \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) führt. - Der konstante Term ergibt \( ax_1x_2 = c \), was zu \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \) führt. Somit sind die Beziehungen, die der Satz von Vieta beschreibt, bewiesen.

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Der Ausdruck \((A^3 - B^3)(A^3 + B^3)\) kann mithilfe der Identität für die Differenz und die Summe von Kuben vereinfacht werden. Zuerst erkennen wir, dass: \[ A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + A... [mehr]

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Der Ausdruck \((A^3 - B^3)(A^3 + B^3)\) kann mithilfe der Identität für die Differenz und die Summe von Kuben vereinfacht werden. Zuerst erkennen wir, dass: \[ A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2) \] und \[ A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2) \] Wenn wir diese beiden Identitäten kombinieren, erhalten wir: \[ (A^3 - B^3)(A^3 + B^3) = (A - B)(A^2 + AB + B^2)(A + BA^2 - AB + B^2) \] Das Produkt \((A^3 - B^3)(A^3 + B^3)\) kann auch als \((A^6 - B^6)\) geschrieben werden, da es sich um die Differenz der sechsten Potenzen handelt. Zusammenfassend ergibt sich: \[ (A^3 - B^3)(A^3 + B^3) = A^6 - B^6 \]