4 Fragen zu Funktionsanalyse

Die Notation \( dy \) und \( y \) stammt aus der Differentialrechnung. \( y \) ist eine Funktion, die von einer Variablen abhängt, während \( dy \) das Differential von \( y \) ist. Es beschreibt die infinitesimale Änderung von \( y \) in Bezug auf eine infinitesimale Änderung der unabhängigen Variablen \( x \). Wenn du eine Funktion \( y = f(x) \) hast, dann ist \( dy \) definiert als: \[ dy = f'(x) \, dx \] Hierbei ist \( f'(x) \) die Ableitung von \( f \) nach \( x \) und \( dx \) ist die infinitesimale Änderung von \( x \). Das bedeutet, dass \( dy \) die Änderung von \( y \) beschreibt, wenn \( x \) sich um einen sehr kleinen Betrag \( dx \) ändert. Zusammengefasst entsteht \( dy \) als das Produkt der Ableitung von \( y \) und der infinitesimalen Änderung von \( x \).

Um eine Kurvendiskussion für die Funktion \( f(x) = x^2(x - 2) \) durchzuführen, sind folgende Schritte notwendig: 1. **Definitionsbereich**: Die Funktion ist für alle reellen Zahlen definiert, also \( D = \mathbb{R} \). 2. **Nullstellen**: Setze \( f(x) = 0 \): \[ x^2(x - 2) = 0 \] Die Nullstellen sind \( x = 0 \) (doppelte Nullstelle) und \( x = 2 \). 3. **Ableitungen**: - Erste Ableitung \( f'(x) \): \[ f'(x) = 2x(x - 2) + x^2 \cdot 1 = 2x^2 - 4x + x^2 = 3x^2 - 4x \] - Setze \( f'(x) = 0 \): \[ 3x^2 - 4x = 0 \implies x(3x - 4) = 0 \] Die kritischen Punkte sind \( x = 0 \) und \( x = \frac{4}{3} \). 4. **Zweite Ableitung**: \[ f''(x) = 6x - 4 \] Setze \( f''(x) = 0 \): \[ 6x - 4 = 0 \implies x = \frac{2}{3} \] 5. **Extrempunkte**: - Bestimme die Werte von \( f \) an den kritischen Punkten: - \( f(0) = 0^2(0 - 2) = 0 \) - \( f\left(\frac{4}{3}\right) = \left(\frac{4}{3}\right)^2\left(\frac{4}{3} - 2\right) = \frac{16}{9} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{32}{27} \) - Bestimme die Art der Extrempunkte mit der zweiten Ableitung: - \( f''(0) = 6(0) - 4 = -4 \) (Maximum) - \( f''\left(\frac{4}{3}\right) = 6\left(\frac{4}{3}\right) - 4 = 8 - 4 = 4 \) (Minimum) 6. **Wendepunkte**: Setze \( f''(x) = 0 \): - Der Wendepunkt ist bei \( x = \frac{2}{3} \). - Bestimme \( f\left(\frac{2}{3}\right) \): \[ f\left(\frac{2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^2\left(\frac{2}{3} - 2\right) = \frac{4}{9} \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) = -\frac{16}{27} \] 7. **Verhalten im Unendlichen**: - Für \( x \to \infty \) und \( x \to -\infty \) geht \( f(x) \) gegen \( \infty \). 8. **Graph der Funktion**: - Die Funktion hat ein Maximum bei \( (0, 0) \), ein Minimum bei \( \left(\frac{4}{3}, -\frac{32}{27}\right) \) und einen Wendepunkt bei \( \left(\frac{2}{3}, -\frac{16}{27}\right) \). Zusammenfassend hat die Funktion \( f(x) = x^2(x - 2) \) die Nullstellen \( x = 0 \) (doppelt) und \( x = 2 \), ein Maximum bei \( (0, 0) \), ein Minimum bei \( \left(\frac{4}{3}, -\frac{32}{27}\right) \) und einen Wendepunkt bei \( \left(\frac{2}{3}, -\frac{16}{27}\right) \).

Eine Funktion \( f \) hat an der Stelle \( a \) eine Wendestelle, wenn die zweite Ableitung \( f''(a) = 0 \) ist und sich das Vorzeichen der zweiten Ableitung um diesen Punkt ändert. Das bedeutet, dass die Funktion an dieser Stelle von einer konvexen (nach oben geöffnet) in eine konkave (nach unten geöffnet) oder umgekehrt wechselt. Um dies zu überprüfen, solltest du die zweite Ableitung der Funktion berechnen und die Bedingungen an der Stelle \( a \) prüfen.

Um den Extremwert der Funktion \( f(x) = 3x^2 - 15x + 20 \) zu berechnen, folge diesen Schritten: 1. **Ableitung bilden**: Berechne die erste Ableitung der Funktion. \[ f'(x) = 6x - 15 \] 2. **Nullstellen der Ableitung finden**: Setze die Ableitung gleich null, um die kritischen Punkte zu finden. \[ 6x - 15 = 0 \implies 6x = 15 \implies x = \frac{15}{6} = 2.5 \] 3. **Zweite Ableitung bilden**: Berechne die zweite Ableitung, um die Art des Extremwerts zu bestimmen. \[ f''(x) = 6 \] Da \( f''(x) > 0 \), handelt es sich um ein Minimum. 4. **Funktionswert an der kritischen Stelle berechnen**: Setze \( x = 2.5 \) in die ursprüngliche Funktion ein, um den Extremwert zu finden. \[ f(2.5) = 3(2.5)^2 - 15(2.5) + 20 = 3(6.25) - 37.5 + 20 = 18.75 - 37.5 + 20 = 1.25 \] Der Extremwert (Minimum) der Funktion \( f(x) = 3x^2 - 15x + 20 \) liegt also bei \( (2.5, 1.25) \).