Eine Kurvendiskussion ist eine systematische Untersuchung des Verlaufs einer mathematischen Funktion, meist einer Funktion f(x). Ziel ist es, möglichst viele Eigenschaften der Funktion zu bestimm...
Kurvendiskussion f(x)=0,5x^3–3x^2+5x
Antwort vomUm die Kurvendiskussion der Funktion \( f(x) = 0,5x^3 - 3x^2 + 5x \) durchzuführen sind folgende Schritte notwendig: 1. **Definitionsbereich**: Die Funktion ist für alle reellen Zahlen definiert, also \( D = \mathbb{R} \). 2. **Ableitungen**: - Erste Ableitung \( f'(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(0,5x^3 - 3x^2 + 5x) = 1,5x^2 - 6x + 5 \] - Zweite Ableitung \( f''(x) \): \[ f''(x) = \frac{d}{dx}(1,5x^2 - 6x + 5) = 3x - 6 \] 3. **Extrempunkte**: Setze die erste Ableitung gleich null: \[ 1,5x^2 - 6x + 5 = 0 \] Verwende die Mitternachtsformel: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1,5 \cdot 5}}{2 \cdot 1,5} \] \[ = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 30}}{3} = \frac{6 \pm \sqrt{6}}{3} \] \[ = 2 \pm \frac{\sqrt{6}}{3} \] Berechne die y-Werte der Extrempunkte: \[ f\left(2 + \frac{\sqrt{6}}{3}\right) \quad \text{und} \quad f\left(2 - \frac{\sqrt{6}}{3}\right) \] 4. **Wendetest**: Bestimme die Art der Extrempunkte mit der zweiten Ableitung: - Setze die x-Werte der Extrempunkte in \( f''(x) \) ein: - Wenn \( f''(x) > 0 \), dann ist es ein Minimum. - Wenn \( f''(x) < 0 \), dann ist es ein Maximum. 5. **Nullstellen**: Setze \( f(x) = 0 \): \[ 0,5x^3 - 3x^2 + 5x = 0 \implies x(0,5x^2 - 3x + 5) = 0 \] Eine Nullstelle ist \( x = 0 \). Die quadratische Gleichung hat keine reellen Lösungen, da die Diskriminante negativ ist. 6. **Verhalten im Unendlichen**: - Für \( x \to \infty \) und \( x \to -\infty \) betrachtet man den höchsten Grad: \[ f(x) \to \infty \quad \text{für} \quad x \to \infty \] \[ f(x) \to -\infty \quad \text{für} \quad x \to -\infty \] 7. **Graph der Funktion**: Zeichne den Graphen unter Berücksichtigung der gefundenen Extrempunkte, Nullstellen und dem Verhalten im Unendlichen. Diese Schritte geben dir eine umfassende Kurvendiskussion der Funktion \( f(x) = 0,5x^3 - 3x^2 + 5x \).
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