Kurvendiskussion f(x)=0,5x^3–3x^2+5x

Um die Kurvendiskussion der Funktion \( f(x) = 0,5x^3 - 3x^2 + 5x \) durchzuführen sind folgende Schritte notwendig:

1. **Definitionsbereich**: Die Funktion ist für alle reellen Zahlen definiert, also \( D = \mathbb{R} \).

2. **Ableitungen**:
- Erste Ableitung \( f'(x) \):
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(0,5x^3 - 3x^2 + 5x) = 1,5x^2 - 6x + 5
\]
- Zweite Ableitung \( f''(x) \):
\[
f''(x) = \frac{d}{dx}(1,5x^2 - 6x + 5) = 3x - 6
\]

3. **Extrempunkte**: Setze die erste Ableitung gleich null:
\[
1,5x^2 - 6x + 5 = 0
\]
Verwende die Mitternachtsformel:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1,5 \cdot 5}}{2 \cdot 1,5}
\]
\[
= \frac{6 \pm \sqrt{36 - 30}}{3} = \frac{6 \pm \sqrt{6}}{3}
\]
\[
= 2 \pm \frac{\sqrt{6}}{3}
\]

Berechne die y-Werte der Extrempunkte:
\[
f\left(2 + \frac{\sqrt{6}}{3}\right) \quad \text{und} \quad f\left(2 - \frac{\sqrt{6}}{3}\right)
\]

4. **Wendetest**: Bestimme die Art der Extrempunkte mit der zweiten Ableitung:
- Setze die x-Werte der Extrempunkte in \( f''(x) \) ein:
- Wenn \( f''(x) > 0 \), dann ist es ein Minimum.
- Wenn \( f''(x) < 0 \), dann ist es ein Maximum.

5. **Nullstellen**: Setze \( f(x) = 0 \):
\[
0,5x^3 - 3x^2 + 5x = 0 \implies x(0,5x^2 - 3x + 5) = 0
\]
Eine Nullstelle ist \( x = 0 \). Die quadratische Gleichung hat keine reellen Lösungen, da die Diskriminante negativ ist.

6. **Verhalten im Unendlichen**:
- Für \( x \to \infty \) und \( x \to -\infty \) betrachtet man den höchsten Grad:
\[
f(x) \to \infty \quad \text{für} \quad x \to \infty
\]
\[
f(x) \to -\infty \quad \text{für} \quad x \to -\infty
\]

7. **Graph der Funktion**: Zeichne den Graphen unter Berücksichtigung der gefundenen Extrempunkte, Nullstellen und dem Verhalten im Unendlichen.

Diese Schritte geben dir eine umfassende Kurvendiskussion der Funktion \( f(x) = 0,5x^3 - 3x^2 + 5x \).