Eine Kurvendiskussion ist eine systematische Untersuchung des Verlaufs einer mathematischen Funktion, meist einer Funktion f(x). Ziel ist es, möglichst viele Eigenschaften der Funktion zu bestimm...
Kurvendiskussion von f(x) = x² + 7x + 10
Antwort vomUm eine vollständige Kurvendiskussion der Funktion \( f(x) = x^2 + 7x + 10 \) durchzuführen, sind folgende Schritte notwendig: 1. **Definitionsbereich**: Der Definitionsbereich ist \( D = \mathbb{R} \), da es sich um ein Polynom handelt. 2. **Symmetrie**: Die Funktion ist eine Parabel und hat keine Achsensymmetrie (da der Koeffizient von \( x \) ungerade ist). Sie hat auch keine Punktsymmetrie, da der Scheitelpunkt nicht im Ursprung liegt. 3. **Nullstellen**: Um die Nullstellen zu finden, setzt man \( f(x) = 0 \): \[ x^2 + 7x + 10 = 0 \] Diese Gleichung kann mit der Mitternachtsformel gelöst werden: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \frac{-7 \pm 3}{2} \] Die Nullstellen sind: \[ x_1 = \frac{-4}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-10}{2} = -5 \] 4. **Extrempunkte**: Um die Extrempunkte zu finden, berechnet man die erste Ableitung: \[ f'(x) = 2x + 7 \] Setze die Ableitung gleich null: \[ 2x + 7 = 0 \Rightarrow x = -\frac{7}{2} = -3.5 \] Um den y-Wert des Extrempunkts zu finden, setzt man \( x = -3.5 \) in die Funktion ein: \[ f\left(-\frac{7}{2}\right) = \left(-\frac{7}{2}\right)^2 + 7\left(-\frac{7}{2}\right) + 10 = \frac{49}{4} - \frac{49}{2} + 10 = \frac{49}{4} - \frac{98}{4} + \frac{40}{4} = -\frac{9}{4} \] Der Extrempunkt ist also \( E\left(-\frac{7}{2}, -\frac{9}{4}\right) \). 5. **Wendepunkte**: Die zweite Ableitung ist: \[ f''(x) = 2 \] Da die zweite Ableitung konstant ist und nie null wird, gibt es keine Wendepunkte. 6. **Verhalten im Unendlichen**: Da es sich um eine nach oben geöffnete Parabel handelt (der Koeffizient von \( x^2 \) ist positiv), gilt: \[ \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty \quad \text{und} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty \] 7. **Graph der Funktion**: Die Parabel hat ihre Nullstellen bei \( x = -2 \) und \( x = -5 \), einen Tiefpunkt bei \( E\left(-\frac{7}{2}, -\frac{9}{4}\right) \) und öffnet nach oben. Zusammenfassend ergibt sich für die Kurvendiskussion der Funktion \( f(x) = x^2 + 7x + 10 \): - **Definitionsbereich**: \( D = \mathbb{R} \) - **Nullstellen**: \( x_1 = -2, x_2 = -5 \) - **Extrempunkt**: \( E\left(-\frac{7}{2}, -\frac{9}{4}\right) \) - **Wendepunkte**: keine - **Verhalten im Unendlichen**: \( \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty \), \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty \)
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