Kurvendiskussion von f(x) = x² + 7x + 10

Um eine vollständige Kurvendiskussion der Funktion \( f(x) = x^2 + 7x + 10 \) durchzuführen, sind folgende Schritte notwendig:

1. **Definitionsbereich**:
Der Definitionsbereich ist \( D = \mathbb{R} \), da es sich um ein Polynom handelt.

2. **Symmetrie**:
Die Funktion ist eine Parabel und hat keine Achsensymmetrie (da der Koeffizient von \( x \) ungerade ist). Sie hat auch keine Punktsymmetrie, da der Scheitelpunkt nicht im Ursprung liegt.

3. **Nullstellen**:
Um die Nullstellen zu finden, setzt man \( f(x) = 0 \):
\[
x^2 + 7x + 10 = 0
\]
Diese Gleichung kann mit der Mitternachtsformel gelöst werden:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \frac{-7 \pm 3}{2}
\]
Die Nullstellen sind:
\[
x_1 = \frac{-4}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-10}{2} = -5
\]

4. **Extrempunkte**:
Um die Extrempunkte zu finden, berechnet man die erste Ableitung:
\[
f'(x) = 2x + 7
\]
Setze die Ableitung gleich null:
\[
2x + 7 = 0 \Rightarrow x = -\frac{7}{2} = -3.5
\]
Um den y-Wert des Extrempunkts zu finden, setzt man \( x = -3.5 \) in die Funktion ein:
\[
f\left(-\frac{7}{2}\right) = \left(-\frac{7}{2}\right)^2 + 7\left(-\frac{7}{2}\right) + 10 = \frac{49}{4} - \frac{49}{2} + 10 = \frac{49}{4} - \frac{98}{4} + \frac{40}{4} = -\frac{9}{4}
\]
Der Extrempunkt ist also \( E\left(-\frac{7}{2}, -\frac{9}{4}\right) \).

5. **Wendepunkte**:
Die zweite Ableitung ist:
\[
f''(x) = 2
\]
Da die zweite Ableitung konstant ist und nie null wird, gibt es keine Wendepunkte.

6. **Verhalten im Unendlichen**:
Da es sich um eine nach oben geöffnete Parabel handelt (der Koeffizient von \( x^2 \) ist positiv), gilt:
\[
\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty \quad \text{und} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty
\]

7. **Graph der Funktion**:
Die Parabel hat ihre Nullstellen bei \( x = -2 \) und \( x = -5 \), einen Tiefpunkt bei \( E\left(-\frac{7}{2}, -\frac{9}{4}\right) \) und öffnet nach oben.

Zusammenfassend ergibt sich für die Kurvendiskussion der Funktion \( f(x) = x^2 + 7x + 10 \):
- **Definitionsbereich**: \( D = \mathbb{R} \)
- **Nullstellen**: \( x_1 = -2, x_2 = -5 \)
- **Extrempunkt**: \( E\left(-\frac{7}{2}, -\frac{9}{4}\right) \)
- **Wendepunkte**: keine
- **Verhalten im Unendlichen**: \( \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty \), \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty \)