Um die Extrempunkte, Hochpunkte und Tiefpunkte der Funktion \( f(x) = (3 - 4x)^2 + 32x \) zu bestimmen, folge diesen Schritten: 1. **Ableitung berechnen**: Zuerst berechnest du die erste Ableitung \( f'(x) \). \[ f(x) = (3 - 4x)^2 + 32x \] Verwende die Kettenregel und die Produktregel: \[ f'(x) = 2(3 - 4x)(-4) + 32 \] \[ f'(x) = -8(3 - 4x) + 32 \] \[ f'(x) = -24 + 32 + 32x \] \[ f'(x) = 32x + 8 \] 2. **Nullstellen der Ableitung finden**: Setze die Ableitung gleich null, um die kritischen Punkte zu finden. \[ 32x + 8 = 0 \] \[ 32x = -8 \] \[ x = -\frac{1}{4} \] 3. **Zweite Ableitung berechnen**: Um zu bestimmen, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt, berechne die zweite Ableitung \( f''(x) \). \[ f''(x) = 32 \] Da \( f''(x) = 32 > 0 \), handelt es sich um einen Tiefpunkt. 4. **Funktionswert am kritischen Punkt berechnen**: Berechne den Funktionswert \( f\left(-\frac{1}{4}\right) \). \[ f\left(-\frac{1}{4}\right) = (3 - 4(-\frac{1}{4}))^2 + 32(-\frac{1}{4}) \] \[ = (3 + 1)^2 - 8 \] \[ = 4^2 - 8 = 16 - 8 = 8 \] Zusammenfassend: - Der Tiefpunkt liegt bei \( \left(-\frac{1}{4}, 8\right) \). - Es gibt keinen Hochpunkt, da die zweite Ableitung positiv ist und somit die Funktion an diesem Punkt ein Minimum hat.