3 Fragen zu Hochpunkte

Um Hochpunkte einer Funktion zu berechnen, folge diesen Schritten: 1. **Bestimme die Funktion**: Du benötigst eine Funktion \( f(x) \), für die du die Hochpunkte finden möchtest. 2. **Berechne die erste Ableitung**: Finde die erste Ableitung \( f'(x) \) der Funktion. Diese gibt die Steigung der Funktion an. 3. **Setze die erste Ableitung gleich null**: Löse die Gleichung \( f'(x) = 0 \). Die Lösungen sind die kritischen Punkte, an denen die Funktion möglicherweise Hoch- oder Tiefpunkte hat. 4. **Berechne die zweite Ableitung**: Finde die zweite Ableitung \( f''(x) \). Diese hilft dir zu bestimmen, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt. 5. **Untersuche die kritischen Punkte**: Setze die kritischen Punkte in die zweite Ableitung ein: - Wenn \( f''(x) < 0 \), handelt es sich um einen Hochpunkt. - Wenn \( f''(x) > 0 \), handelt es sich um einen Tiefpunkt. - Wenn \( f''(x) = 0 \), ist eine weitere Untersuchung nötig (z.B. durch den Test der ersten Ableitung oder höhere Ableitungen). 6. **Bestimme die Hochpunkte**: Setze die x-Werte der Hochpunkte in die ursprüngliche Funktion \( f(x) \) ein, um die y-Werte der Hochpunkte zu finden. Diese Schritte helfen dir, die Hochpunkte einer Funktion systematisch zu berechnen.

Um die Extrempunkte, Hochpunkte und Tiefpunkte der Funktion \( f(x) = (3 - 4x)^2 + 32x \) zu bestimmen, folge diesen Schritten: 1. **Ableitung berechnen**: Zuerst berechnest du die erste Ableitung \( f'(x) \). \[ f(x) = (3 - 4x)^2 + 32x \] Verwende die Kettenregel und die Produktregel: \[ f'(x) = 2(3 - 4x)(-4) + 32 \] \[ f'(x) = -8(3 - 4x) + 32 \] \[ f'(x) = -24 + 32 + 32x \] \[ f'(x) = 32x + 8 \] 2. **Nullstellen der Ableitung finden**: Setze die Ableitung gleich null, um die kritischen Punkte zu finden. \[ 32x + 8 = 0 \] \[ 32x = -8 \] \[ x = -\frac{1}{4} \] 3. **Zweite Ableitung berechnen**: Um zu bestimmen, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt, berechne die zweite Ableitung \( f''(x) \). \[ f''(x) = 32 \] Da \( f''(x) = 32 > 0 \), handelt es sich um einen Tiefpunkt. 4. **Funktionswert am kritischen Punkt berechnen**: Berechne den Funktionswert \( f\left(-\frac{1}{4}\right) \). \[ f\left(-\frac{1}{4}\right) = (3 - 4(-\frac{1}{4}))^2 + 32(-\frac{1}{4}) \] \[ = (3 + 1)^2 - 8 \] \[ = 4^2 - 8 = 16 - 8 = 8 \] Zusammenfassend: - Der Tiefpunkt liegt bei \( \left(-\frac{1}{4}, 8\right) \). - Es gibt keinen Hochpunkt, da die zweite Ableitung positiv ist und somit die Funktion an diesem Punkt ein Minimum hat.

Um die Hochpunkte, Tiefpunkte und Wendepunkte der Funktion \( h(x) = \frac{2}{3}x^3 - 2x \) zu finden, müssen wir die ersten und zweiten Ableitungen der Funktion bestimmen. 1. **Erste Ableitung** \( h'(x) \): \[ h'(x) = 2x^2 - 2 \] 2. **Nullstellen der ersten Ableitung** (Hoch- und Tiefpunkte): Setze \( h'(x) = 0 \): \[ 2x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 \text{ oder } x = -1 \] chne die Funktionswerte an diesen Stellen: \[ h(1) = \frac{2}{3}(1)^3 - 2(1) = \frac{2}{3} - 2 = -\frac{4}{3} \] \[ h(-1) = \frac{2}{3}(-1)^3 - 2(-1) = -\frac{2}{3} + 2 = \frac{4}{3} \] Die Koordinaten der Hoch- und Tiefpunkte sind: - Hochpunkt: \( (-1, \frac{4}{3}) \) - Tiefpunkt: \( (1, -\frac{4}{3}) \) 3. **Zweite Ableitung** \( h''(x) \): \[ h''(x) = 4x \] 4. **Wendepunkte**: Setze \( h''(x) = 0 \): \[ 4x = 0 \implies x = 0 \] Berechne den Funktionswert an dieser Stelle: \[ h(0) = \frac{2}{3}(0)^3 - 2(0) = 0 \] Der Wendepunkt ist: - Wendepunkt: \( (0, 0) \) Zusammenfassend sind die Koordinaten: - Hochpunkt: \( (-1, \frac{4}{3}) \) - Tiefpunkt: \( (1, -\frac{4}{3}) \) - Wendepunkt: \( (0, 0) \)