4 Fragen zu Tiefpunkte

Um die Extrempunkte, Hochpunkte und Tiefpunkte der Funktion \( f(x) = (3 - 4x)^2 + 32x \) zu bestimmen, folge diesen Schritten: 1. **Ableitung berechnen**: Zuerst berechnest du die erste Ableitung \( f'(x) \). \[ f(x) = (3 - 4x)^2 + 32x \] Verwende die Kettenregel und die Produktregel: \[ f'(x) = 2(3 - 4x)(-4) + 32 \] \[ f'(x) = -8(3 - 4x) + 32 \] \[ f'(x) = -24 + 32 + 32x \] \[ f'(x) = 32x + 8 \] 2. **Nullstellen der Ableitung finden**: Setze die Ableitung gleich null, um die kritischen Punkte zu finden. \[ 32x + 8 = 0 \] \[ 32x = -8 \] \[ x = -\frac{1}{4} \] 3. **Zweite Ableitung berechnen**: Um zu bestimmen, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt, berechne die zweite Ableitung \( f''(x) \). \[ f''(x) = 32 \] Da \( f''(x) = 32 > 0 \), handelt es sich um einen Tiefpunkt. 4. **Funktionswert am kritischen Punkt berechnen**: Berechne den Funktionswert \( f\left(-\frac{1}{4}\right) \). \[ f\left(-\frac{1}{4}\right) = (3 - 4(-\frac{1}{4}))^2 + 32(-\frac{1}{4}) \] \[ = (3 + 1)^2 - 8 \] \[ = 4^2 - 8 = 16 - 8 = 8 \] Zusammenfassend: - Der Tiefpunkt liegt bei \( \left(-\frac{1}{4}, 8\right) \). - Es gibt keinen Hochpunkt, da die zweite Ableitung positiv ist und somit die Funktion an diesem Punkt ein Minimum hat.

Um zu zeigen, dass die Funktion \( f(x) = x^4 - 8x^2 + 16 \) ein Tiefpunkt hat, müssen wir die Ableitungen der Funktion untersuchen. 1. **Erste Ableitung**: Zuerst berechnen wir die erste Ableitung \( f'(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 8x^2 + 16) = 4x^3 - 16x \] 2. **Nullstellen der ersten Ableitung**: Setze die erste Ableitung gleich null, um die kritischen Punkte zu finden: \[ 4x^3 - 16x = 0 \] Faktorisieren: \[ 4x(x^2 - 4) = 0 \] Das ergibt: \[ 4x(x - 2)(x + 2) = 0 \] Die Nullstellen sind: \[ x = 0, \quad x = 2, \quad x = -2 \] 3. **Zweite Ableitung**: Um zu bestimmen, ob es sich bei diesen Punkten um Tief- oder Hochpunkte handelt, berechnen wir die zweite Ableitung \( f''(x) \): \[ f''(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 - 16x) = 12x^2 - 16 \] 4. **Werte der zweiten Ableitung an den kritischen Punkten**: - Für \( x = 0 \): \[ f''(0) = 12(0)^2 - 16 = -16 \quad (\text{Hochpunkt}) \] - Für \( x = 2 \): \[ f''(2) = 12(2)^2 - 16 = 12 \cdot 4 - 16 = 48 - 16 = 32 \quad (\text{Tiefpunkt}) \] - Für \( x = -2 \): \[ f''(-2) = 12(-2)^2 - 16 = 12 \cdot 4 - 16 = 48 - 16 = 32 \quad (\text{Tiefpunkt}) \] 5. **Zusammenfassung**: Die Funktion hat bei \( x = 2 \) und \( x = -2 \) Tiefpunkte, da die zweite Ableitung an diesen Stellen positiv ist. Bei \( x = 0 \) handelt es sich um einen Hochpunkt, da die zweite Ableitung negativ ist. Somit ist die Funktion \( f(x) = x^4 - 8x^2 + 16 \) bei \( x = 2 \) und \( x = -2 \) ein Tiefpunkt.

Um zu zeigen, dass die Funktion \( f(x) = x^4 - 8x^2 + 16 \) die angegebenen Tief- und Hochpunkte hat, müssen wir die ersten und zweiten Ableitungen der Funktion berechnen und analysieren. 1. **Erste Ableitung**: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 8x^2 + 16) = 4x^3 - 16x \] Um die kritischen Punkte zu finden, setzen wir die erste Ableitung gleich null: \[ 4x^3 - 16x = 0 \] Faktorisieren ergibt: \[ 4x(x^2 - 4) = 0 \] Das führt zu: \[ 4x(x - 2)(x + 2) = 0 \] Die Lösungen sind: \[ x = 0, \quad x = 2, \quad x = -2 \] 2. **Zweite Ableitung**: \[ f''(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 - 16x) = 12x^2 - 16 \] Um die Art der kritischen Punkte zu bestimmen, setzen wir die zweite Ableitung an den kritischen Punkten ein. - Für \( x = -2 \): \[ f''(-2) = 12(-2)^2 - 16 = 12 \cdot 4 - 16 = 48 - 16 = 32 \quad (\text{positiv} \Rightarrow \text{Tiefpunkt}) \] - Für \( x = 0 \): \[ f''(0) = 12(0)^2 - 16 = -16 \quad (\text{negativ} \Rightarrow \text{Hochpunkt}) \] - Für \( x = 2 \): \[ f''(2) = 12(2)^2 - 16 = 12 \cdot 4 - 16 = 48 - 16 = 32 \quad (\text{positiv} \Rightarrow \text{Tiefpunkt}) \] 3. **Funktionswerte an den kritischen Punkten**: - Für \( x = -2 \): \[ f(-2) = (-2)^4 - 8(-2)^2 + 16 = 16 - 32 + 16 = 0 \quad (T1(-2, 0)) \] - Für \( x = 0 \): \[ f(0) = 0^4 - 8 \cdot 0^2 + 16 = 16 \quad (H(0, 16)) \] - Für \( x = 2 \): \[ f(2) = 2^4 - 8 \cdot 2^2 + 16 = 16 - 32 + 16 = 0 \quad (T2(2, 0)) \] Zusammenfassend hat die Funktion \( f(x) = x^4 - 8x^2 + 16 \) die Tiefpunkte \( T1(-2, 0) \) und \( T2(2, 0) \) sowie den Hochpunkt \( H(0, 16) \).

Um die Hochpunkte, Tiefpunkte und Wendepunkte der Funktion \( h(x) = \frac{2}{3}x^3 - 2x \) zu finden, müssen wir die ersten und zweiten Ableitungen der Funktion bestimmen. 1. **Erste Ableitung** \( h'(x) \): \[ h'(x) = 2x^2 - 2 \] 2. **Nullstellen der ersten Ableitung** (Hoch- und Tiefpunkte): Setze \( h'(x) = 0 \): \[ 2x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 \text{ oder } x = -1 \] chne die Funktionswerte an diesen Stellen: \[ h(1) = \frac{2}{3}(1)^3 - 2(1) = \frac{2}{3} - 2 = -\frac{4}{3} \] \[ h(-1) = \frac{2}{3}(-1)^3 - 2(-1) = -\frac{2}{3} + 2 = \frac{4}{3} \] Die Koordinaten der Hoch- und Tiefpunkte sind: - Hochpunkt: \( (-1, \frac{4}{3}) \) - Tiefpunkt: \( (1, -\frac{4}{3}) \) 3. **Zweite Ableitung** \( h''(x) \): \[ h''(x) = 4x \] 4. **Wendepunkte**: Setze \( h''(x) = 0 \): \[ 4x = 0 \implies x = 0 \] Berechne den Funktionswert an dieser Stelle: \[ h(0) = \frac{2}{3}(0)^3 - 2(0) = 0 \] Der Wendepunkt ist: - Wendepunkt: \( (0, 0) \) Zusammenfassend sind die Koordinaten: - Hochpunkt: \( (-1, \frac{4}{3}) \) - Tiefpunkt: \( (1, -\frac{4}{3}) \) - Wendepunkt: \( (0, 0) \)