Zeige rechnerisch, dass die Funktion f(x) = x^4 - 8x^2 + 16 Tiefpunkte hat.

Question

Zeige rechnerisch, dass die Funktion f(x) = x^4 - 8x^2 + 16 Tiefpunkte hat.

Antwort

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Wie lautet die erste Ableitung der Quadratwurzel von x?

Was ist die Ableitung von ax/(x+b)?

Ist die Funktion g(x) = |x-1| + |x-2| differenzierbar?

-cos(x) abgeleitet?

Wie lautet die Ableitung von f(x) = Wurzel(2x) unter Verwendung der Kettenregel (innere und äußere Ableitung)?

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Was sind die Nullstellen von f(x) = (x - 2,5)² + 1?

Nullstelle von h(x) = x² - 1,5?

Wie finde ich die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion?

Wie zeichnet man den Graphen einer Funktion, z.B. y= 0,5 (x-1,5)²-2?

Accepted Answer

Um zu zeigen, dass die Funktion \( f(x) = x^4 - 8x^2 + 16 \) ein Tiefpunkt hat, müssen wir die Ableitungen der Funktion untersuchen. 1. **Erste Ableitung**: Zuerst berechnen wir die erste Ableitung \( f'(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 8x^2 + 16) = 4x^3 - 16x \] 2. **Nullstellen der ersten Ableitung**: Setze die erste Ableitung gleich null, um die kritischen Punkte zu finden: \[ 4x^3 - 16x = 0 \] Faktorisieren: \[ 4x(x^2 - 4) = 0 \] Das ergibt: \[ 4x(x - 2)(x + 2) = 0 \] Die Nullstellen sind: \[ x = 0, \quad x = 2, \quad x = -2 \] 3. **Zweite Ableitung**: Um zu bestimmen, ob es sich bei diesen Punkten um Tief- oder Hochpunkte handelt, berechnen wir die zweite Ableitung \( f''(x) \): \[ f''(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 - 16x) = 12x^2 - 16 \] 4. **Werte der zweiten Ableitung an den kritischen Punkten**: - Für \( x = 0 \): \[ f''(0) = 12(0)^2 - 16 = -16 \quad (\text{Hochpunkt}) \] - Für \( x = 2 \): \[ f''(2) = 12(2)^2 - 16 = 12 \cdot 4 - 16 = 48 - 16 = 32 \quad (\text{Tiefpunkt}) \] - Für \( x = -2 \): \[ f''(-2) = 12(-2)^2 - 16 = 12 \cdot 4 - 16 = 48 - 16 = 32 \quad (\text{Tiefpunkt}) \] 5. **Zusammenfassung**: Die Funktion hat bei \( x = 2 \) und \( x = -2 \) Tiefpunkte, da die zweite Ableitung an diesen Stellen positiv ist. Bei \( x = 0 \) handelt es sich um einen Hochpunkt, da die zweite Ableitung negativ ist. Somit ist die Funktion \( f(x) = x^4 - 8x^2 + 16 \) bei \( x = 2 \) und \( x = -2 \) ein Tiefpunkt.

Accepted Answer

Die zweite Wurzel von \( x \) ist gleich \( \sqrt{x} \) oder \( x^{1/2} \). Die erste Ableitung davon ist: \[ \frac{d}{dx} \left( x^{1/2} \right) = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \] **A... [mehr]

Accepted Answer

Die zweite Wurzel von \( x \) ist gleich \( \sqrt{x} \) oder \( x^{1/2} \). Die erste Ableitung davon ist: \[ \frac{d}{dx} \left( x^{1/2} \right) = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \] **Antwort:** Die erste Ableitung von \( \sqrt{x} \) ist \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \).

Accepted Answer

Um die Ableitung der Funktion \( f(x) = \frac{ax}{x + b} \) zu bestimmen, kannst du die Quotientenregel anwenden. Die Quotientenregel besagt, dass die Ableitung einer Funktion der Form \( \frac{u}{v}... [mehr]

Accepted Answer

Um die Ableitung der Funktion \( f(x) = \frac{ax}{x + b} \) zu bestimmen, kannst du die Quotientenregel anwenden. Die Quotientenregel besagt, dass die Ableitung einer Funktion der Form \( \frac{u}{v} \) gegeben ist durch: \[ f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Hier ist \( u = ax \) und \( v = x + b \). 1. Berechne die Ableitungen \( u' \) und \( v' \): - \( u' = a \) - \( v' = 1 \) 2. Setze die Werte in die Quotientenregel ein: \[ f'(x) = \frac{(a)(x + b) - (ax)(1)}{(x + b)^2} \] 3. Vereinfache den Zähler: \[ f'(x) = \frac{ax + ab - ax}{(x + b)^2} = \frac{ab}{(x + b)^2} \] Die Ableitung von \( \frac{ax}{x + b} \) ist also: \[ f'(x) = \frac{ab}{(x + b)^2} \]

Accepted Answer

Die Funktion \( g(x) = |x-1| + |x-2| \) ist **nicht überall differenzierbar**. **Begründung:** Der Ausdruck \( |x-a| \) ist an der Stelle \( x = a \) **nicht differenzierbar**, da dort ein... [mehr]

Accepted Answer

Die Funktion \( g(x) = |x-1| + |x-2| \) ist **nicht überall differenzierbar**. **Begründung:** Der Ausdruck \( |x-a| \) ist an der Stelle \( x = a \) **nicht differenzierbar**, da dort ein "Knick" im Graphen ist. In deinem Fall gibt es zwei solche Stellen: bei \( x = 1 \) und bei \( x = 2 \). **Im Detail:** - Für \( x < 1 \): \( g(x) = (1-x) + (2-x) = 3 - 2x \) - Für \( 1 \leq x < 2 \): \( g(x) = (x-1) + (2-x) = 1 \) - Für \( x \geq 2 \): \( g(x) = (x-1) + (x-2) = 2x - 3 \) **Ableitungen:** - Für \( x < 1 \): \( g'(x) = -2 \) - Für \( 1 < x < 2 \): \( g'(x) = 0 \) - Für \( x > 2 \): \( g'(x) = 2 \) **An den Stellen \( x = 1 \) und \( x = 2 \):** - Bei \( x = 1 \): Linksseitige Ableitung ist \(-2\), rechtsseitige ist \(0\) ⇒ **nicht differenzierbar** - Bei \( x = 2 \): Linksseitige Ableitung ist \(0\), rechtsseitige ist \(2\) ⇒ **nicht differenzierbar** **Fazit:** \( g(x) \) ist **differenzierbar für alle \( x \) außer bei \( x = 1 \) und \( x = 2 \)**. An diesen beiden Stellen ist die Funktion **nicht differenzierbar**.

Accepted Answer

Die Ableitung von \(-\cos(x)\) nach \(x\) ist: \[ \frac{d}{dx}[-\cos(x)] = \sin(x) \] Das Minuszeichen bleibt erhalten, und die Ableitung von \(\cos(x)\) ist \(-\sin(x)\), also: \[ -\frac{d}{dx}[\c... [mehr]

Accepted Answer

Die Ableitung von \(-\cos(x)\) nach \(x\) ist: \[ \frac{d}{dx}[-\cos(x)] = \sin(x) \] Das Minuszeichen bleibt erhalten, und die Ableitung von \(\cos(x)\) ist \(-\sin(x)\), also: \[ -\frac{d}{dx}[\cos(x)] = -(-\sin(x)) = \sin(x) \]

Accepted Answer

Gegeben ist die Funktion: \( f(x) = \sqrt{2x} \) Das ist eine Verkettung zweier Funktionen: - **Äußere Funktion:** \( g(u) = \sqrt{u} = u^{1/2} \) - **Innere Funktion:** \( h(x) = 2x \)... [mehr]

Accepted Answer

Gegeben ist die Funktion: \( f(x) = \sqrt{2x} \) Das ist eine Verkettung zweier Funktionen: - **Äußere Funktion:** \( g(u) = \sqrt{u} = u^{1/2} \) - **Innere Funktion:** \( h(x) = 2x \) **1. Ableitung der äußeren Funktion:** \( g'(u) = \frac{1}{2} u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \) **2. Ableitung der inneren Funktion:** \( h'(x) = 2 \) **Kettenregel:** \( f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) \) **Einsetzen:** \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x}} \cdot 2 \) **Vereinfachen:** \( f'(x) = \frac{2}{2\sqrt{2x}} = \frac{1}{\sqrt{2x}} \) **Antwort:** Die Ableitung ist \[ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x}} \] **Innere Ableitung:** \( h'(x) = 2 \) **Äußere Ableitung:** \( g'(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \) **Gesamte Ableitung:** \( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x}} \)

Accepted Answer

Eine Funktion \( f(x) \) wird längs der x-Achse gestaucht oder gestreckt, indem du das Argument der Funktion mit einem Faktor \( a \) multiplizierst: - **Streckung entlang der x-Achse:** \(... [mehr]

Accepted Answer

Eine Funktion \( f(x) \) wird längs der x-Achse gestaucht oder gestreckt, indem du das Argument der Funktion mit einem Faktor \( a \) multiplizierst: - **Streckung entlang der x-Achse:** \( f\left(\frac{x}{a}\right) \) mit \( |a| > 1 \) Die Funktion wird um den Faktor \( a \) in x-Richtung gestreckt. - **Stauchung entlang der x-Achse:** \( f\left(\frac{x}{a}\right) \) mit \( 0 < |a| < 1 \) Die Funktion wird um den Faktor \( a \) in x-Richtung gestaucht. **Merke:** Multiplizierst du das \( x \) im Argument von \( f \) mit einem Wert größer als 1, wird die Funktion gestaucht; teilst du durch einen Wert größer als 1 (bzw. multiplizierst mit einem Wert zwischen 0 und 1), wird sie gestreckt.

Accepted Answer

Um die Nullstellen der Funktion \( f(x) = (x - 2.5)^2 + 1 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ (x - 2.5)^2 + 1 = 0 \] Zuerst isolieren wir den quadratischen Term: \[ (x - 2.5)^2 = -... [mehr]

Accepted Answer

Um die Nullstellen der Funktion \( f(x) = (x - 2.5)^2 + 1 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ (x - 2.5)^2 + 1 = 0 \] Zuerst isolieren wir den quadratischen Term: \[ (x - 2.5)^2 = -1 \] Da der Ausdruck \((x - 2.5)^2\) immer größer oder gleich null ist (da es sich um ein Quadrat handelt), kann er niemals gleich \(-1\) sein. Daher hat die Funktion \( f(x) = (x - 2.5)^2 + 1 \) keine Nullstellen.

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Um die Nullstellen der Funktion \( h(x) = x^2 - 1,5 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ x^2 - 1,5 = 0 \] Das kann umgeformt werden zu: \[ x^2 = 1,5 \] Nun zieht man die Quadra... [mehr]

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Um die Nullstellen der Funktion \( h(x) = x^2 - 1,5 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ x^2 - 1,5 = 0 \] Das kann umgeformt werden zu: \[ x^2 = 1,5 \] Nun zieht man die Quadratwurzel auf beiden Seiten: \[ x = \pm \sqrt{1,5} \] Die Nullstellen sind also: \[ x = \sqrt{1,5} \quad \text{und} \quad x = -\sqrt{1,5} \] Das ergibt die ungefähren Werte: \[ x \approx 1,22 \quad \text{und} \quad x \approx -1,22 \] Somit sind die Nullstellen von \( h(x) \) bei \( x \approx 1,22 \) und \( x \approx -1,22 \).

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Um die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion der Form \( f(x) = ax^2 + bx + c \) zu bestimmen, kannst du die Diskriminante \( D \) verwenden, die aus den Koeffizienten \( a \), \( b \) u... [mehr]

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Um die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion der Form \( f(x) = ax^2 + bx + c \) zu bestimmen, kannst du die Diskriminante \( D \) verwenden, die aus den Koeffizienten \( a \), \( b \) und \( c \) berechnet wird. Die Diskrimin wird wie folgt berechnet: \[ D = b^2 - 4ac \] Die Anzahl der Nullstellen hängt dann von dem Wert der Diskriminante ab: 1. **Wenn \( D > 0 \)**: Die Funktion hat zwei verschiedene Nullstellen. 2. **Wenn \( D = 0 \)**: Die Funktion hat eine doppelte Nullstelle (also genau eine Nullstelle). 3. **Wenn \( D < 0 \)**: Die Funktion hat keine reellen Nullstellen (die Nullstellen sind komplex). Durch die Berechnung der Diskriminante kannst du also schnell die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion bestimmen.

Accepted Answer

Um den Graphen der Funktion \( y = 0,5 (x - 1,5)^2 - 2 \) zu zeichnen, folge diesen Schritten: 1. **Bestimme die Scheitelpunktform**: Die Funktion ist bereits in der Scheitelpunktform \( y = a(x - h)... [mehr]

Accepted Answer

Um den Graphen der Funktion \( y = 0,5 (x - 1,5)^2 - 2 \) zu zeichnen, folge diesen Schritten: 1. **Bestimme die Scheitelpunktform**: Die Funktion ist bereits in der Scheitelpunktform \( y = a(x - h)^2 + k \), wobei \( (h, k) \) der Scheitelpunkt ist. Hier ist \( h = 1,5 \) und \( k = -2 \). Der Scheitelpunkt ist also \( (1,5, -2) \). 2. **Öffnung und Breite**: Der Wert von \( a = 0,5 \) zeigt, dass die Parabel nach oben geöffnet ist und breiter ist als die Standardparabel \( y = x^2 \). 3. **Achsen und Symmetrie**: Die Parabel ist symmetrisch zur Linie \( x = 1,5 \). 4. **Berechne weitere Punkte**: Wähle einige \( x \)-Werte, um die entsprechenden \( y \)-Werte zu berechnen. Zum Beispiel: - Für \( x = 0 \): \( y = 0,5(0 - 1,5)^2 - 2 = 0,5(2,25) - 2 = 1,125 - 2 = -0,875 \) - Für \( x = 1 \): \( y = 0,5(1 - 1,5)^2 - 2 = 0,5(0,25) - 2 = 0,125 - 2 = -1,875 \) - Für \( x = 2 \): \( y = 0,5(2 - 1,5)^2 - 2 = 0,5(0,25) - 2 = 0,125 - 2 = -1,875 \) - Für \( x = 3 \): \( y = 0,5(3 - 1,5)^2 - 2 = 0,5(2,25) - 2 = 1,125 - 2 = -0,875 \) - Für \( x = 4 \): \( y = 0,5(4 - 1,5)^2 - 2 = 0,5(6,25) - 2 = 3,125 - 2 = 1,125 \) 5. **Zeichne die Punkte**: Trage die berechneten Punkte in ein Koordinatensystem ein. 6. **Verbinde die Punkte**: Zeichne eine glatte Kurve durch die Punkte, um die Parabel darzustellen. 7. **Achsen beschriften**: Vergiss nicht, die Achsen zu beschriften und den Scheitelpunkt sowie weitere wichtige Punkte zu kennzeichnen. So erhältst du den Graphen der Funktion.