Zeige rechnerisch, dass die Funktion f(x) = x^4 - 8x^2 + 16 Tiefpunkte hat.

Question

Zeige rechnerisch, dass die Funktion f(x) = x^4 - 8x^2 + 16 Tiefpunkte hat.

Antwort

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Accepted Answer

Um zu zeigen, dass die Funktion \( f(x) = x^4 - 8x^2 + 16 \) ein Tiefpunkt hat, müssen wir die Ableitungen der Funktion untersuchen. 1. **Erste Ableitung**: Zuerst berechnen wir die erste Ableitung \( f'(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 8x^2 + 16) = 4x^3 - 16x \] 2. **Nullstellen der ersten Ableitung**: Setze die erste Ableitung gleich null, um die kritischen Punkte zu finden: \[ 4x^3 - 16x = 0 \] Faktorisieren: \[ 4x(x^2 - 4) = 0 \] Das ergibt: \[ 4x(x - 2)(x + 2) = 0 \] Die Nullstellen sind: \[ x = 0, \quad x = 2, \quad x = -2 \] 3. **Zweite Ableitung**: Um zu bestimmen, ob es sich bei diesen Punkten um Tief- oder Hochpunkte handelt, berechnen wir die zweite Ableitung \( f''(x) \): \[ f''(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 - 16x) = 12x^2 - 16 \] 4. **Werte der zweiten Ableitung an den kritischen Punkten**: - Für \( x = 0 \): \[ f''(0) = 12(0)^2 - 16 = -16 \quad (\text{Hochpunkt}) \] - Für \( x = 2 \): \[ f''(2) = 12(2)^2 - 16 = 12 \cdot 4 - 16 = 48 - 16 = 32 \quad (\text{Tiefpunkt}) \] - Für \( x = -2 \): \[ f''(-2) = 12(-2)^2 - 16 = 12 \cdot 4 - 16 = 48 - 16 = 32 \quad (\text{Tiefpunkt}) \] 5. **Zusammenfassung**: Die Funktion hat bei \( x = 2 \) und \( x = -2 \) Tiefpunkte, da die zweite Ableitung an diesen Stellen positiv ist. Bei \( x = 0 \) handelt es sich um einen Hochpunkt, da die zweite Ableitung negativ ist. Somit ist die Funktion \( f(x) = x^4 - 8x^2 + 16 \) bei \( x = 2 \) und \( x = -2 \) ein Tiefpunkt.

Accepted Answer

Um die Ableitung der Funktion \( f(x) = \frac{ax}{x + b} \) zu bestimmen, kannst du die Quotientenregel anwenden. Die Quotientenregel besagt, dass die Ableitung einer Funktion der Form \( \frac{u}{v}... [mehr]

Accepted Answer

Um die Ableitung der Funktion \( f(x) = \frac{ax}{x + b} \) zu bestimmen, kannst du die Quotientenregel anwenden. Die Quotientenregel besagt, dass die Ableitung einer Funktion der Form \( \frac{u}{v} \) gegeben ist durch: \[ f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Hier ist \( u = ax \) und \( v = x + b \). 1. Berechne die Ableitungen \( u' \) und \( v' \): - \( u' = a \) - \( v' = 1 \) 2. Setze die Werte in die Quotientenregel ein: \[ f'(x) = \frac{(a)(x + b) - (ax)(1)}{(x + b)^2} \] 3. Vereinfache den Zähler: \[ f'(x) = \frac{ax + ab - ax}{(x + b)^2} = \frac{ab}{(x + b)^2} \] Die Ableitung von \( \frac{ax}{x + b} \) ist also: \[ f'(x) = \frac{ab}{(x + b)^2} \]

Accepted Answer

Die Ableitung der Funktion \( f(x) = 4,89^x \) kann mit der Exponentialregel abgeleitet werden. Die Ableitung ist gegeben durch: \[ f'() = 4,89^x \cdot \ln(4,89) \] Hierbei ist \( \ln(4,89) \)... [mehr]

Accepted Answer

Die Ableitung der Funktion \( f(x) = 4,89^x \) kann mit der Exponentialregel abgeleitet werden. Die Ableitung ist gegeben durch: \[ f'() = 4,89^x \cdot \ln(4,89) \] Hierbei ist \( \ln(4,89) \) der natürliche Logarithmus von 4,89.

Accepted Answer

Um die Ableitung der Funktion \( f(x) = x + \sqrt{x} \) zu bestimmen, gehen wir Schritt für Schritt vor. 1. **Identifikation der Funktionsteile**: Die Funktion besteht aus zwei Teilen: \( x \) u... [mehr]

Accepted Answer

Um die Ableitung der Funktion \( f(x) = x + \sqrt{x} \) zu bestimmen, gehen wir Schritt für Schritt vor. 1. **Identifikation der Funktionsteile**: Die Funktion besteht aus zwei Teilen: \( x \) und \( \sqrt{x} \). 2. **Ableitung der einzelnen Teile**: - Die Ableitung von \( x \) ist \( 1 \). - Die Ableitung von \( \sqrt{x} \) kann mit der Potenzregel abgeleitet werden. Zuerst schreiben wir \( \sqrt{x} \) als \( x^{1/2} \). Die Ableitung davon ist: \[ \frac{d}{dx}(x^{1/2}) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}. \] 3. **Zusammenführen der Ableitungen**: Jetzt addieren wir die Ableitungen der beiden Teile: \[ f'(x) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}. \] 4. **Endergebnis**: Die Ableitung der Funktion \( f(x) = x + \sqrt{x} \) ist somit: \[ f'(x) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}. \] Das ist die gesuchte Ableitung mit dem entsprechenden Lösungsweg.

Accepted Answer

Um Aussagen über die Funktion \( f(x) = e^{v(x)} \) zu machen, wobei \( v(x) = x^2 \), betrachten wir zunächst die Ableitung von \( v(x) \). 1. **Ableitung von \( v(x) \)**: \[ v... [mehr]

Accepted Answer

Um Aussagen über die Funktion \( f(x) = e^{v(x)} \) zu machen, wobei \( v(x) = x^2 \), betrachten wir zunächst die Ableitung von \( v(x) \). 1. **Ableitung von \( v(x) \)**: \[ v'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \] 2. **Ableitung von \( f(x) \)**: Um die Ableitung von \( f(x) \) zu bestimmen, verwenden wir die Kettenregel: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(e^{v(x)}) = e^{v(x)} \cdot v'(x) = e^{x^2} \cdot 2x \] 3. **Verhalten von \( f(x) \)**: - \( f(x) \) ist immer positiv, da die Exponentialfunktion \( e^{x^2} \) für alle \( x \) positiv ist. - \( f'(x) = 2x e^{x^2} \) zeigt, dass die Funktion \( f(x) \) für \( x > 0 \) wächst (da \( f'(x) > 0 \)) und für \( x < 0 \) fällt (da \( f'(x) < 0 \)). Bei \( x = 0 \) hat die Funktion einen lokalen Extrempunkt. 4. **Extrempunkte**: - Der einzige kritische Punkt ist bei \( x = 0 \). Hier hat \( f(x) \) ein Minimum, da die Funktion für \( x < 0 \) abnimmt und für \( x > 0 \) zunimmt. Zusammenfassend kann man sagen, dass \( f(x) = e^{x^2} \) eine positive Funktion ist, die bei \( x = 0 \) ein Minimum hat und für \( x < 0 \) fällt und für \( x > 0 \) steigt.

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Um die Nullstellen der Funktion \( f(x) = (x - 2.5)^2 + 1 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ (x - 2.5)^2 + 1 = 0 \] Zuerst isolieren wir den quadratischen Term: \[ (x - 2.5)^2 = -... [mehr]

Accepted Answer

Um die Nullstellen der Funktion \( f(x) = (x - 2.5)^2 + 1 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ (x - 2.5)^2 + 1 = 0 \] Zuerst isolieren wir den quadratischen Term: \[ (x - 2.5)^2 = -1 \] Da der Ausdruck \((x - 2.5)^2\) immer größer oder gleich null ist (da es sich um ein Quadrat handelt), kann er niemals gleich \(-1\) sein. Daher hat die Funktion \( f(x) = (x - 2.5)^2 + 1 \) keine Nullstellen.

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Um die Nullstellen der Funktion \( h(x) = x^2 - 1,5 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ x^2 - 1,5 = 0 \] Das kann umgeformt werden zu: \[ x^2 = 1,5 \] Nun zieht man die Quadra... [mehr]

Accepted Answer

Um die Nullstellen der Funktion \( h(x) = x^2 - 1,5 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ x^2 - 1,5 = 0 \] Das kann umgeformt werden zu: \[ x^2 = 1,5 \] Nun zieht man die Quadratwurzel auf beiden Seiten: \[ x = \pm \sqrt{1,5} \] Die Nullstellen sind also: \[ x = \sqrt{1,5} \quad \text{und} \quad x = -\sqrt{1,5} \] Das ergibt die ungefähren Werte: \[ x \approx 1,22 \quad \text{und} \quad x \approx -1,22 \] Somit sind die Nullstellen von \( h(x) \) bei \( x \approx 1,22 \) und \( x \approx -1,22 \).

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Um die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion der Form \( f(x) = ax^2 + bx + c \) zu bestimmen, kannst du die Diskriminante \( D \) verwenden, die aus den Koeffizienten \( a \), \( b \) u... [mehr]

Accepted Answer

Um die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion der Form \( f(x) = ax^2 + bx + c \) zu bestimmen, kannst du die Diskriminante \( D \) verwenden, die aus den Koeffizienten \( a \), \( b \) und \( c \) berechnet wird. Die Diskrimin wird wie folgt berechnet: \[ D = b^2 - 4ac \] Die Anzahl der Nullstellen hängt dann von dem Wert der Diskriminante ab: 1. **Wenn \( D > 0 \)**: Die Funktion hat zwei verschiedene Nullstellen. 2. **Wenn \( D = 0 \)**: Die Funktion hat eine doppelte Nullstelle (also genau eine Nullstelle). 3. **Wenn \( D < 0 \)**: Die Funktion hat keine reellen Nullstellen (die Nullstellen sind komplex). Durch die Berechnung der Diskriminante kannst du also schnell die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion bestimmen.

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Um den Graphen der Funktion \( y = 0,5 (x - 1,5)^2 - 2 \) zu zeichnen, folge diesen Schritten: 1. **Bestimme die Scheitelpunktform**: Die Funktion ist bereits in der Scheitelpunktform \( y = a(x - h)... [mehr]

Accepted Answer

Um den Graphen der Funktion \( y = 0,5 (x - 1,5)^2 - 2 \) zu zeichnen, folge diesen Schritten: 1. **Bestimme die Scheitelpunktform**: Die Funktion ist bereits in der Scheitelpunktform \( y = a(x - h)^2 + k \), wobei \( (h, k) \) der Scheitelpunkt ist. Hier ist \( h = 1,5 \) und \( k = -2 \). Der Scheitelpunkt ist also \( (1,5, -2) \). 2. **Öffnung und Breite**: Der Wert von \( a = 0,5 \) zeigt, dass die Parabel nach oben geöffnet ist und breiter ist als die Standardparabel \( y = x^2 \). 3. **Achsen und Symmetrie**: Die Parabel ist symmetrisch zur Linie \( x = 1,5 \). 4. **Berechne weitere Punkte**: Wähle einige \( x \)-Werte, um die entsprechenden \( y \)-Werte zu berechnen. Zum Beispiel: - Für \( x = 0 \): \( y = 0,5(0 - 1,5)^2 - 2 = 0,5(2,25) - 2 = 1,125 - 2 = -0,875 \) - Für \( x = 1 \): \( y = 0,5(1 - 1,5)^2 - 2 = 0,5(0,25) - 2 = 0,125 - 2 = -1,875 \) - Für \( x = 2 \): \( y = 0,5(2 - 1,5)^2 - 2 = 0,5(0,25) - 2 = 0,125 - 2 = -1,875 \) - Für \( x = 3 \): \( y = 0,5(3 - 1,5)^2 - 2 = 0,5(2,25) - 2 = 1,125 - 2 = -0,875 \) - Für \( x = 4 \): \( y = 0,5(4 - 1,5)^2 - 2 = 0,5(6,25) - 2 = 3,125 - 2 = 1,125 \) 5. **Zeichne die Punkte**: Trage die berechneten Punkte in ein Koordinatensystem ein. 6. **Verbinde die Punkte**: Zeichne eine glatte Kurve durch die Punkte, um die Parabel darzustellen. 7. **Achsen beschriften**: Vergiss nicht, die Achsen zu beschriften und den Scheitelpunkt sowie weitere wichtige Punkte zu kennzeichnen. So erhältst du den Graphen der Funktion.

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Um die Nullstelle der Funktion \( f(x) = \frac{ab}{(x+b)^2} \) zu berechnen, setzt man die Funktion gleich null: \[ \frac{ab}{(x+b)^2} = 0 \] Eine Bruchgleichung ist genau dann null, wenn der Zä... [mehr]

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Um die Nullstelle der Funktion \( f(x) = \frac{ab}{(x+b)^2} \) zu berechnen, setzt man die Funktion gleich null: \[ \frac{ab}{(x+b)^2} = 0 \] Eine Bruchgleichung ist genau dann null, wenn der Zähler null ist (vorausgesetzt, der Nenner ist nicht null). Daher setzen wir den Zähler gleich null: \[ ab = 0 \] Das bedeutet, dass entweder \( a = 0 \) oder \( b = 0 \) sein muss, um eine Nullstelle zu haben. Beachte, dass der Nenner \( (x+b)^2 \) niemals null sein kann, solange \( x \neq -b \). Daher gibt es keine Nullstelle in der Funktion, solange \( a \) und \( b \) nicht gleich null sind. Zusammenfassend: Die Nullstelle der Funktion existiert nur, wenn \( a = 0 \) oder \( b = 0 \).

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Um die Surjektivität einer Funktion schnell zu überprüfen, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Definition verstehen**: Eine Funktion \( f: A \to B \) ist surjektiv, wenn fü... [mehr]

Accepted Answer

Um die Surjektivität einer Funktion schnell zu überprüfen, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Definition verstehen**: Eine Funktion \( f: A \to B \) ist surjektiv, wenn für jedes Element \( b \in B \) mindestens ein Element \( a \in A \) existiert, sodass \( f(a) = b \). 2. **Bild der Funktion bestimmen**: Berechne das Bild der Funktion, indem du die Funktionsvorschrift analysierst und die Werte von \( f(x) \) für alle \( x \in A \) untersuchst. 3. **Gegenteil prüfen**: Überprüfe, ob es Elemente in \( B \) gibt, die nicht im Bild von \( f \) liegen. Wenn du ein solches Element findest, ist die Funktion nicht surjektiv. 4. **Spezielle Techniken**: Bei bestimmten Funktionstypen (z.B. linearen Funktionen) kannst du auch algebraische Methoden verwenden, um zu zeigen, dass die Gleichung \( f(x) = b \) für jedes \( b \in B \) eine Lösung hat. 5. **Graphische Methode**: Bei Funktionen, die grafisch dargestellt werden können, kannst du auch die horizontale Linien-Testmethode verwenden: Wenn eine horizontale Linie den Graphen der Funktion mehr als einmal schneidet, ist die Funktion nicht surjektiv. Diese Schritte helfen dir, die Surjektivität einer Funktion effizient zu überprüfen.