Wie berechne ich Extrem- und Wendepunkte?

Question

Wie berechne ich Extrem- und Wendepunkte?

Antwort

Verwandte Fragen

Was ist die Ableitung von ax/(x+b)?

Was ist die Ableitung von 4,89 hoch x?

Wie ist die Ableitung von f(x) = x + Wurzel x?

Welche Aussagen kann man über die Funktion f(x)=e^(x^2) aus dem Graphen der Ableitung v=x^2 ableiten?

Was ist die Ableitung von 0,5 hoch x?

Accepted Answer

Um Extrem- und Wendepunkte einer Funktion zu berechnen, folge diesen Schritten: 1. **Bestimme die Funktion**: Sei \( f(x) \) die gegebene Funktion. 2. **Berechne die erste Ableitung**: Finde \( f'(x) \). Diese gibt die Steigung der Funktion an. 3. **Setze die erste Ableitung gleich null**: Löse die Gleichung \( f'(x) = 0 \). Die Lösungen sind die Kandidaten für Extrempunkte. 4. **Bestimme die Art der Extrempunkte**: Berechne die zweite Ableitung \( f''(x) \). - Wenn \( f''(x) > 0 \) an einem Punkt, handelt es sich um ein Minimum. - Wenn \( f''(x) < 0 \), handelt es sich um ein Maximum. - Wenn \( f''(x) = 0 \), ist der Test nicht eindeutig, und du musst möglicherweise weitere Tests durchführen. 5. **Berechne die zweite Ableitung**: Finde \( f''(x) \) und setze sie gleich null, um Wendepunkte zu finden. 6. **Bestimme die Wendepunkte**: Löse die Gleichung \( f''(x) = 0 \). Überprüfe, ob sich das Vorzeichen von \( f''(x) \) an diesen Punkten ändert, um sicherzustellen, dass es sich um Wendepunkte handelt. Durch diese Schritte kannst du die Extrem- und Wendepunkte einer Funktion systematisch bestimmen.

Accepted Answer

Um die Ableitung der Funktion \( f(x) = \frac{ax}{x + b} \) zu bestimmen, kannst du die Quotientenregel anwenden. Die Quotientenregel besagt, dass die Ableitung einer Funktion der Form \( \frac{u}{v}... [mehr]

Accepted Answer

Um die Ableitung der Funktion \( f(x) = \frac{ax}{x + b} \) zu bestimmen, kannst du die Quotientenregel anwenden. Die Quotientenregel besagt, dass die Ableitung einer Funktion der Form \( \frac{u}{v} \) gegeben ist durch: \[ f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Hier ist \( u = ax \) und \( v = x + b \). 1. Berechne die Ableitungen \( u' \) und \( v' \): - \( u' = a \) - \( v' = 1 \) 2. Setze die Werte in die Quotientenregel ein: \[ f'(x) = \frac{(a)(x + b) - (ax)(1)}{(x + b)^2} \] 3. Vereinfache den Zähler: \[ f'(x) = \frac{ax + ab - ax}{(x + b)^2} = \frac{ab}{(x + b)^2} \] Die Ableitung von \( \frac{ax}{x + b} \) ist also: \[ f'(x) = \frac{ab}{(x + b)^2} \]

Accepted Answer

Die Ableitung der Funktion \( f(x) = 4,89^x \) kann mit der Exponentialregel abgeleitet werden. Die Ableitung ist gegeben durch: \[ f'() = 4,89^x \cdot \ln(4,89) \] Hierbei ist \( \ln(4,89) \)... [mehr]

Accepted Answer

Die Ableitung der Funktion \( f(x) = 4,89^x \) kann mit der Exponentialregel abgeleitet werden. Die Ableitung ist gegeben durch: \[ f'() = 4,89^x \cdot \ln(4,89) \] Hierbei ist \( \ln(4,89) \) der natürliche Logarithmus von 4,89.

Accepted Answer

Um die Ableitung der Funktion \( f(x) = x + \sqrt{x} \) zu bestimmen, gehen wir Schritt für Schritt vor. 1. **Identifikation der Funktionsteile**: Die Funktion besteht aus zwei Teilen: \( x \) u... [mehr]

Accepted Answer

Um die Ableitung der Funktion \( f(x) = x + \sqrt{x} \) zu bestimmen, gehen wir Schritt für Schritt vor. 1. **Identifikation der Funktionsteile**: Die Funktion besteht aus zwei Teilen: \( x \) und \( \sqrt{x} \). 2. **Ableitung der einzelnen Teile**: - Die Ableitung von \( x \) ist \( 1 \). - Die Ableitung von \( \sqrt{x} \) kann mit der Potenzregel abgeleitet werden. Zuerst schreiben wir \( \sqrt{x} \) als \( x^{1/2} \). Die Ableitung davon ist: \[ \frac{d}{dx}(x^{1/2}) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}. \] 3. **Zusammenführen der Ableitungen**: Jetzt addieren wir die Ableitungen der beiden Teile: \[ f'(x) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}. \] 4. **Endergebnis**: Die Ableitung der Funktion \( f(x) = x + \sqrt{x} \) ist somit: \[ f'(x) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}. \] Das ist die gesuchte Ableitung mit dem entsprechenden Lösungsweg.

Accepted Answer

Um Aussagen über die Funktion \( f(x) = e^{v(x)} \) zu machen, wobei \( v(x) = x^2 \), betrachten wir zunächst die Ableitung von \( v(x) \). 1. **Ableitung von \( v(x) \)**: \[ v... [mehr]

Accepted Answer

Um Aussagen über die Funktion \( f(x) = e^{v(x)} \) zu machen, wobei \( v(x) = x^2 \), betrachten wir zunächst die Ableitung von \( v(x) \). 1. **Ableitung von \( v(x) \)**: \[ v'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \] 2. **Ableitung von \( f(x) \)**: Um die Ableitung von \( f(x) \) zu bestimmen, verwenden wir die Kettenregel: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(e^{v(x)}) = e^{v(x)} \cdot v'(x) = e^{x^2} \cdot 2x \] 3. **Verhalten von \( f(x) \)**: - \( f(x) \) ist immer positiv, da die Exponentialfunktion \( e^{x^2} \) für alle \( x \) positiv ist. - \( f'(x) = 2x e^{x^2} \) zeigt, dass die Funktion \( f(x) \) für \( x > 0 \) wächst (da \( f'(x) > 0 \)) und für \( x < 0 \) fällt (da \( f'(x) < 0 \)). Bei \( x = 0 \) hat die Funktion einen lokalen Extrempunkt. 4. **Extrempunkte**: - Der einzige kritische Punkt ist bei \( x = 0 \). Hier hat \( f(x) \) ein Minimum, da die Funktion für \( x < 0 \) abnimmt und für \( x > 0 \) zunimmt. Zusammenfassend kann man sagen, dass \( f(x) = e^{x^2} \) eine positive Funktion ist, die bei \( x = 0 \) ein Minimum hat und für \( x < 0 \) fällt und für \( x > 0 \) steigt.

Accepted Answer

Die Ableitung von \(0,5^x\) kann mit der Regel für die Ableitung von Exponentialfunktionen berechnet werden. Die allgemeine Form der Ableitung einer Funktion \(a^x\) ist \(a^x \cdot \ln(a)\), wob... [mehr]

Accepted Answer

Die Ableitung von \(0,5^x\) kann mit der Regel für die Ableitung von Exponentialfunktionen berechnet werden. Die allgemeine Form der Ableitung einer Funktion \(a^x\) ist \(a^x \cdot \ln(a)\), wobei \(a\) eine positive Konstante ist. Für \(0,5^x\) ergibt sich somit: \[ \frac{d}{dx}(0,5^x) = 0,5^x \cdot \ln(0,5) \] Das bedeutet, die Ableitung von \(0,5^x\) ist \(0,5^x \cdot \ln(0,5)\).