Wie berechne ich das Maximum der Funktion durch Nullsetzen der Ableitung?

Question

Wie berechne ich das Maximum der Funktion durch Nullsetzen der Ableitung?

Antwort

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Wie lautet die Ableitung von f(x)=e^(a*x)?

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Was sind die Nullstellen von f(x) = (x - 2,5)² + 1?

Accepted Answer

Um das Maximum einer Funktion zu berechnen, indem du die Ableitung gleich Null, folge diesen Schritten: 1. **Funktion aufstellen**: Sei \( f(x) \) die gegebene Funktion. 2. **Ableitung berechnen**: Bestimme die erste Ableitung \( f'(x) \). 3. **Ableitung gleich Null setzen**: Löse die Gleichung \( f'(x) = 0 \) nach \( x \) auf, um die kritischen Punkte zu finden. 4. **Zweite Ableitung berechnen**: Bestimme die zweite Ableitung \( f''(x) \). 5. **Kritische Punkte untersuchen**: Setze die kritischen Punkte in die zweite Ableitung ein: - Wenn \( f''(x) < 0 \), handelt es sich um ein lokales Maximum. - Wenn \( f''(x) > 0 \), handelt es sich um ein lokales Minimum. - Wenn \( f''(x) = 0 \), ist der Test nicht schlüssig, und es könnte sich um einen Sattelpunkt handeln. Hier ist ein Beispiel: Gegeben sei die Funktion \( f(x) = -2x^2 + 4x + 1 \). 1. **Funktion**: \( f(x) = -2x^2 + 4x + 1 \) 2. **Erste Ableitung**: \( f'(x) = -4x + 4 \) 3. **Ableitung gleich Null setzen**: \[ -4x + 4 = 0 \implies x = 1 \] 4. **Zweite Ableitung**: \( f''(x) = -4 \) 5. **Kritischen Punkt untersuchen**: \[ f''(1) = -4 < 0 \] Da die zweite Ableitung negativ ist, hat die Funktion bei \( x = 1 \) ein lokales Maximum. 6. **Maximum berechnen**: Setze \( x = 1 \) in die ursprüngliche Funktion ein: \[ f(1) = -2(1)^2 + 4(1) + 1 = 3 \] Das Maximum der Funktion \( f(x) = -2x^2 + 4x + 1 \) ist also \( f(1) = 3 \).

Accepted Answer

Die Produktregel ist eine wichtige Regel in der Differentialrechnung. Sie hilft dir, die Ableitung eines Produkts aus zwei Funktionen zu berechnen. Stell dir vor, du hast zwei Funktionen: f(x) und g(... [mehr]

Accepted Answer

Die Produktregel ist eine wichtige Regel in der Differentialrechnung. Sie hilft dir, die Ableitung eines Produkts aus zwei Funktionen zu berechnen. Stell dir vor, du hast zwei Funktionen: f(x) und g(x). Du möchtest die Ableitung von f(x) · g(x) berechnen. Die Produktregel sagt: **(f(x) · g(x))' = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x)** Das bedeutet: Du leitest zuerst die erste Funktion ab und multiplizierst sie mit der zweiten Funktion (so wie sie ist). Dann leitest du die zweite Funktion ab und multiplizierst sie mit der ersten Funktion (so wie sie ist). Am Ende addierst du beide Ergebnisse. **Beispiel:** f(x) = x², g(x) = sin(x) Dann ist die Ableitung: (x² · sin(x))' = 2x · sin(x) + x² · cos(x) So kannst du die Produktregel einfach anwenden!

Accepted Answer

Die Produktregel ist eine wichtige Ableitungsregel in der Differentialrechnung. Sie wird verwendet, wenn du die Ableitung eines Produkts zweier Funktionen berechnen möchtest. Angenommen, du hast... [mehr]

Accepted Answer

Die Produktregel ist eine wichtige Ableitungsregel in der Differentialrechnung. Sie wird verwendet, wenn du die Ableitung eines Produkts zweier Funktionen berechnen möchtest. Angenommen, du hast zwei Funktionen \( f(x) \) und \( g(x) \). Das Produkt dieser beiden Funktionen ist \( h(x) = f(x) \cdot g(x) \). Die Produktregel besagt: \[ h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \] Das bedeutet: Die Ableitung des Produkts ist gleich der Ableitung der ersten Funktion mal der zweiten Funktion, plus die erste Funktion mal der Ableitung der zweiten Funktion. **Beispiel:** Sei \( f(x) = x^2 \) und \( g(x) = \sin(x) \). Dann ist \( h(x) = x^2 \cdot \sin(x) \). Die Ableitungen sind: - \( f'(x) = 2x \) - \( g'(x) = \cos(x) \) Nach der Produktregel: \[ h'(x) = 2x \cdot \sin(x) + x^2 \cdot \cos(x) \] So kannst du die Produktregel anwenden, um die Ableitung eines Produkts zu berechnen.

Accepted Answer

Die Ableitung der Funktion \( f(x) = e^{a \cdot x} \) nach \( x \) ist: \[ f'(x) = a \cdot e^{a \cdot x} \] Dabei ist \( a \) eine Konstante.

Accepted Answer

Die Ableitung der Funktion \( f(x) = e^{a \cdot x} \) nach \( x \) ist: \[ f'(x) = a \cdot e^{a \cdot x} \] Dabei ist \( a \) eine Konstante.

Kategorie: Mathematik Tags: Ableitung Exponentialfunktion Mathematik

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Die Funktion \( g(x) = |x-1| + |x-2| \) ist **nicht überall differenzierbar**. **Begründung:** Der Ausdruck \( |x-a| \) ist an der Stelle \( x = a \) **nicht differenzierbar**, da dort ein... [mehr]

Accepted Answer

Die Funktion \( g(x) = |x-1| + |x-2| \) ist **nicht überall differenzierbar**. **Begründung:** Der Ausdruck \( |x-a| \) ist an der Stelle \( x = a \) **nicht differenzierbar**, da dort ein "Knick" im Graphen ist. In deinem Fall gibt es zwei solche Stellen: bei \( x = 1 \) und bei \( x = 2 \). **Im Detail:** - Für \( x < 1 \): \( g(x) = (1-x) + (2-x) = 3 - 2x \) - Für \( 1 \leq x < 2 \): \( g(x) = (x-1) + (2-x) = 1 \) - Für \( x \geq 2 \): \( g(x) = (x-1) + (x-2) = 2x - 3 \) **Ableitungen:** - Für \( x < 1 \): \( g'(x) = -2 \) - Für \( 1 < x < 2 \): \( g'(x) = 0 \) - Für \( x > 2 \): \( g'(x) = 2 \) **An den Stellen \( x = 1 \) und \( x = 2 \):** - Bei \( x = 1 \): Linksseitige Ableitung ist \(-2\), rechtsseitige ist \(0\) ⇒ **nicht differenzierbar** - Bei \( x = 2 \): Linksseitige Ableitung ist \(0\), rechtsseitige ist \(2\) ⇒ **nicht differenzierbar** **Fazit:** \( g(x) \) ist **differenzierbar für alle \( x \) außer bei \( x = 1 \) und \( x = 2 \)**. An diesen beiden Stellen ist die Funktion **nicht differenzierbar**.

Accepted Answer

Die Ableitung von \(-\cos(x)\) nach \(x\) ist: \[ \frac{d}{dx}[-\cos(x)] = \sin(x) \] Das Minuszeichen bleibt erhalten, und die Ableitung von \(\cos(x)\) ist \(-\sin(x)\), also: \[ -\frac{d}{dx}[\c... [mehr]

Accepted Answer

Die Ableitung von \(-\cos(x)\) nach \(x\) ist: \[ \frac{d}{dx}[-\cos(x)] = \sin(x) \] Das Minuszeichen bleibt erhalten, und die Ableitung von \(\cos(x)\) ist \(-\sin(x)\), also: \[ -\frac{d}{dx}[\cos(x)] = -(-\sin(x)) = \sin(x) \]

Accepted Answer

Gegeben ist die Funktion: \( f(x) = \sqrt{2x} \) Das ist eine Verkettung zweier Funktionen: - **Äußere Funktion:** \( g(u) = \sqrt{u} = u^{1/2} \) - **Innere Funktion:** \( h(x) = 2x \)... [mehr]

Accepted Answer

Gegeben ist die Funktion: \( f(x) = \sqrt{2x} \) Das ist eine Verkettung zweier Funktionen: - **Äußere Funktion:** \( g(u) = \sqrt{u} = u^{1/2} \) - **Innere Funktion:** \( h(x) = 2x \) **1. Ableitung der äußeren Funktion:** \( g'(u) = \frac{1}{2} u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \) **2. Ableitung der inneren Funktion:** \( h'(x) = 2 \) **Kettenregel:** \( f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) \) **Einsetzen:** \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x}} \cdot 2 \) **Vereinfachen:** \( f'(x) = \frac{2}{2\sqrt{2x}} = \frac{1}{\sqrt{2x}} \) **Antwort:** Die Ableitung ist \[ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x}} \] **Innere Ableitung:** \( h'(x) = 2 \) **Äußere Ableitung:** \( g'(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \) **Gesamte Ableitung:** \( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x}} \)

Accepted Answer

Die zweite Wurzel von \( x \) ist gleich \( \sqrt{x} \) oder \( x^{1/2} \). Die erste Ableitung davon ist: \[ \frac{d}{dx} \left( x^{1/2} \right) = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \] **A... [mehr]

Accepted Answer

Die zweite Wurzel von \( x \) ist gleich \( \sqrt{x} \) oder \( x^{1/2} \). Die erste Ableitung davon ist: \[ \frac{d}{dx} \left( x^{1/2} \right) = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \] **Antwort:** Die erste Ableitung von \( \sqrt{x} \) ist \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \).

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Die Riemannsche Vermutung ist eines der berühmtesten und wichtigsten ungelösten Probleme der Mathematik. Sie wurde 1859 von dem deutschen Mathematiker Bernhard Riemann formuliert und besch&a... [mehr]

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Die Riemannsche Vermutung ist eines der berühmtesten und wichtigsten ungelösten Probleme der Mathematik. Sie wurde 1859 von dem deutschen Mathematiker Bernhard Riemann formuliert und beschäftigt sich mit den sogenannten Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion. Die Riemannsche Zetafunktion ist eine spezielle mathematische Funktion, die für komplexe Zahlen definiert ist. Sie spielt eine zentrale Rolle in der Zahlentheorie, insbesondere im Zusammenhang mit der Verteilung der Primzahlen. Die Vermutung besagt: **Alle nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion haben den Realteil 1/2.** Das heißt: Wenn man die Gleichung ζ(s) = 0 betrachtet (wobei ζ die Zetafunktion ist und s eine komplexe Zahl), dann liegen alle nicht-trivialen Lösungen (also die Nullstellen, die nicht bei negativen geraden Zahlen liegen) auf der sogenannten "kritischen Geraden" im komplexen Zahlenraum, nämlich dort, wo der Realteil von s gleich 1/2 ist. Die Riemannsche Vermutung ist eines der sieben "Millennium-Probleme" des Clay Mathematics Institute, für deren Lösung jeweils ein Preis von einer Million US-Dollar ausgelobt wurde. Weitere Informationen findest du zum Beispiel auf der [Wikipedia-Seite zur Riemannschen Vermutung](https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsche_Vermutung).

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Um die Nullstellen der Funktion \( f(x) = (x - 2.5)^2 + 1 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ (x - 2.5)^2 + 1 = 0 \] Zuerst isolieren wir den quadratischen Term: \[ (x - 2.5)^2 = -... [mehr]

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Um die Nullstellen der Funktion \( f(x) = (x - 2.5)^2 + 1 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ (x - 2.5)^2 + 1 = 0 \] Zuerst isolieren wir den quadratischen Term: \[ (x - 2.5)^2 = -1 \] Da der Ausdruck \((x - 2.5)^2\) immer größer oder gleich null ist (da es sich um ein Quadrat handelt), kann er niemals gleich \(-1\) sein. Daher hat die Funktion \( f(x) = (x - 2.5)^2 + 1 \) keine Nullstellen.