Wie rechne ich Ableitung?

Um die Ableitung einer Funktion rechnerisch zu bestimmen, kannst du die folgenden Schritte befolgen:

1. **Definition der Funktion**: Bestimme die Funktion \( f(x) \), deren Ableitung du berechnen möchtest.

2. **Grenzwertdefinition der Ableitung**: Die Ableitung \( f'(x) \) einer Funktion \( f(x) \) an der Stelle \( x \) ist definiert als der Grenzwert:
\[
f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
\]

3. **Einsetzen und Vereinfachen**: Setze \( f(x+h) \) und \( f(x) \) in die Grenzwertdefinition ein und vereinfache den Ausdruck so weit wie möglich.

4. **Grenzwert berechnen**: Berechne den Grenzwert des vereinfachten Ausdrucks, wenn \( h \) gegen 0 geht.

Hier ist ein Beispiel zur Veranschaulichung:

**Beispiel**: Bestimme die Ableitung der Funktion \( f(x) = x^2 \).

1. **Funktion definieren**: \( f(x) = x^2 \)

2. **Grenzwertdefinition anwenden**:
\[
f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h}
\]

3. **Einsetzen und Vereinfachen**:
\[
f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}
\]
\[
f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{2xh + h^2}{h}
\]
\[
f'(x) = \lim_{{h \to 0}} (2x + h)
\]

4. **Grenzwert berechnen**:
\[
f'(x) = 2x
\]

Die Ableitung der Funktion \( f(x) = x^2 \) ist also \( f'(x) = 2x \).

Für komplexere Funktionen kannst du ähnliche Schritte befolgen oder Ableitungsregeln wie die Produktregel, Quotientenregel oder Kettenregel anwenden.