Wie rechne ich Ableitung?

Um die Ableitung einer Funktion rechnerisch zu bestimmen, kannst du die folgenden Schritte befolgen: 1. **Definition der Funktion**: Bestimme die Funktion \( f(x) \), deren Ableitung du berechnen möchtest. 2. **Grenzwertdefinition der Ableitung**: Die Ableitung \( f'(x) \) einer Funktion \( f(x) \) an der Stelle \( x \) ist definiert als der Grenzwert: \[ f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \] 3. **Einsetzen und Vereinfachen**: Setze \( f(x+h) \) und \( f(x) \) in die Grenzwertdefinition ein und vereinfache den Ausdruck so weit wie möglich. 4. **Grenzwert berechnen**: Berechne den Grenzwert des vereinfachten Ausdrucks, wenn \( h \) gegen 0 geht. Hier ist ein Beispiel zur Veranschaulichung: **Beispiel**: Bestimme die Ableitung der Funktion \( f(x) = x^2 \). 1. **Funktion definieren**: \( f(x) = x^2 \) 2. **Grenzwertdefinition anwenden**: \[ f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} \] 3. **Einsetzen und Vereinfachen**: \[ f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} \] \[ f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{2xh + h^2}{h} \] \[ f'(x) = \lim_{{h \to 0}} (2x + h) \] 4. **Grenzwert berechnen**: \[ f'(x) = 2x \] Die Ableitung der Funktion \( f(x) = x^2 \) ist also \( f'(x) = 2x \). Für komplexere Funktionen kannst du ähnliche Schritte befolgen oder Ableitungsregeln wie die Produktregel, Quotientenregel oder Kettenregel anwenden.