3 Fragen zu Wendestellen

Die Extremstellen der ersten Ableitung einer Funktion sind die Wendestellen der ursprünglichen Funktion, weil an diesen Punkten die Krümmung der ursprünglichen Funktion wechselt. Hier ist eine detaillierte Erklärung: 1. **Definition der Wendestelle**: Eine Wendestelle einer Funktion \( f(x) \) ist ein Punkt, an dem die Funktion von konvex (nach oben gekrümmt) zu konkav (nach unten gekrümmt) oder umgekehrt wechselt. Mathematisch bedeutet dies, dass die zweite Ableitung \( f''(x) \) an diesem Punkt das Vorzeichen wechselt. 2. **Erste Ableitung und ihre Extremstellen**: Die erste Ableitung \( f'(x) \) einer Funktion \( f(x) \) gibt die Steigung der Tangente an \( f(x) \) an jedem Punkt \( x \) an. Die Extremstellen der ersten Ableitung \( f'(x) \) sind die Punkte, an denen die Steigung der Tangente ein Maximum oder Minimum erreicht, also wo \( f'(x) \) selbst ein lokales Maximum oder Minimum hat. 3. **Zusammenhang zwischen erster und zweiter Ableitung**: Die zweite Ableitung \( f''(x) \) gibt die Änderungsrate der Steigung an, also wie sich die Steigung \( f'(x) \) ändert. Wenn \( f'(x) \) ein Extremum hat, dann ist die Änderungsrate der Steigung an diesem Punkt null, was bedeutet, dass \( f''(x) = 0 \). 4. **Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung**: An den Extremstellen von \( f'(x) \) wechselt die Steigung von \( f'(x) \) von steigend zu fallend oder umgekehrt. Dies impliziert, dass die zweite Ableitung \( f''(x) \) das Vorzeichen wechselt. Ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung ist genau das Kriterium für eine Wendestelle der ursprünglichen Funktion \( f(x) \). Zusammengefasst: Die Extremstellen der ersten Ableitung \( f'(x) \) sind die Punkte, an denen die zweite Ableitung \( f''(x) \) null ist und das Vorzeichen wechselt. Dies sind genau die Punkte, an denen die ursprüngliche Funktion \( f(x) \) eine Wendestelle hat.

Die erste Ableitung einer Funktion hat dort Extremstellen, wo die ursprüngliche Funktion Wendestellen hat, weil die Wendestellen der ursprünglichen Funktion die Punkte sind, an denen die Krümmung wechselt. Mathematisch ausgedrückt: Eine Wendestelle einer Funktion \( f(x) \) ist ein Punkt, an dem die zweite Ableitung \( f''(x) \) das Vorzeichen wechselt. An diesen Punkten ist die erste Ableitung \( f'(x) \) maximal oder minimal, weil die Steigung der Tangente (die durch \( f'(x) \) beschrieben wird) dort am stärksten zunimmt oder abnimmt. Zusammengefasst: An einer Wendestelle von \( f(x) \) hat \( f'(x) \) ein Extremum, weil die Änderungsrate der Steigung (beschrieben durch \( f''(x) \)) dort null ist und das Vorzeichen wechselt.

Die dritte Ableitung muss bei Wendestellen nicht ungleich null sein. Eine Wendestelle ist definiert als ein Punkt, an dem sich das Krümmungsverhalten einer Funktion ändert, also von konvex nach konkav oder umgekehrt. Dies geschieht, wenn die zweite Ableitung der Funktion an diesem Punkt gleich null ist und sich das Vorzeichen der zweiten Ableitung ändert. Die dritte Ableitung kann an einer Wendestelle gleich null sein, muss es aber nicht. Wenn die dritte Ableitung an einer Wendestelle gleich null ist, kann dies darauf hindeuten, dass die Funktion an dieser Stelle eine flachere Krümmung hat, aber es ist nicht zwingend erforderlich. Es ist wichtig, die zweite Ableitung zu betrachten, um die Wendestelle zu identifizieren, während die dritte Ableitung zusätzliche Informationen über das Verhalten der Funktion in der Nähe dieser Stelle liefern kann.