Was ist die Ableitung von V_Öl=1,0/(X*2000) cm³?

Question

Was ist die Ableitung von V_Öl=1,0/(X*2000) cm³?

Antwort

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Was ist die Ableitung von 4,89 hoch x?

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Welche Aussagen kann man über die Funktion f(x)=e^(x^2) aus dem Graphen der Ableitung v=x^2 ableiten?

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Wie macht man Überschlagsrechnungen?

Was sind die Nullstellen von f(x) = (x - 2,5)² + 1?

Nullstelle von h(x) = x² - 1,5?

Accepted Answer

Um die Ableitung der Funktion \( V_{\text{Öl}} = \frac{1,0}{X \cdot 2000} \) in Bezug auf \( X \) zu berechnen, kann die Funktion zunächst vereinfacht werden: \[ V_{\text{Öl}} = \frac{1,0}{2000} \cdot \frac{1}{X} \] Dies kann weiter vereinfacht werden zu: \[ V_{\text{Öl}} = \frac{1}{2000X} \] Nun kann die Ableitung dieser Funktion in Bezug auf \( X \) berechnet werden. Die Ableitung von \( \frac{1}{X} \) ist \( -\frac{1}{X^2} \). Daher ist die Ableitung von \( \frac{1}{2000X} \): \[ \frac{d}{dX} \left( \frac{1}{2000X} \right) = \frac{1}{2000} \cdot \frac{d}{dX} \left( \frac{1}{X} \right) = \frac{1}{2000} \cdot \left( -\frac{1}{X^2} \right) = -\frac{1}{2000X^2} \] Die Ableitung von \( V_{\text{Öl}} \) in Bezug auf \( X \) ist also: \[ \frac{dV_{\text{Öl}}}{dX} = -\frac{1}{2000X^2} \]

Accepted Answer

Um die Ableitung der Funktion \( f(x) = \frac{ax}{x + b} \) zu bestimmen, kannst du die Quotientenregel anwenden. Die Quotientenregel besagt, dass die Ableitung einer Funktion der Form \( \frac{u}{v}... [mehr]

Accepted Answer

Um die Ableitung der Funktion \( f(x) = \frac{ax}{x + b} \) zu bestimmen, kannst du die Quotientenregel anwenden. Die Quotientenregel besagt, dass die Ableitung einer Funktion der Form \( \frac{u}{v} \) gegeben ist durch: \[ f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Hier ist \( u = ax \) und \( v = x + b \). 1. Berechne die Ableitungen \( u' \) und \( v' \): - \( u' = a \) - \( v' = 1 \) 2. Setze die Werte in die Quotientenregel ein: \[ f'(x) = \frac{(a)(x + b) - (ax)(1)}{(x + b)^2} \] 3. Vereinfache den Zähler: \[ f'(x) = \frac{ax + ab - ax}{(x + b)^2} = \frac{ab}{(x + b)^2} \] Die Ableitung von \( \frac{ax}{x + b} \) ist also: \[ f'(x) = \frac{ab}{(x + b)^2} \]

Accepted Answer

Die Ableitung der Funktion \( f(x) = 4,89^x \) kann mit der Exponentialregel abgeleitet werden. Die Ableitung ist gegeben durch: \[ f'() = 4,89^x \cdot \ln(4,89) \] Hierbei ist \( \ln(4,89) \)... [mehr]

Accepted Answer

Die Ableitung der Funktion \( f(x) = 4,89^x \) kann mit der Exponentialregel abgeleitet werden. Die Ableitung ist gegeben durch: \[ f'() = 4,89^x \cdot \ln(4,89) \] Hierbei ist \( \ln(4,89) \) der natürliche Logarithmus von 4,89.

Accepted Answer

Um die Ableitung der Funktion \( f(x) = x + \sqrt{x} \) zu bestimmen, gehen wir Schritt für Schritt vor. 1. **Identifikation der Funktionsteile**: Die Funktion besteht aus zwei Teilen: \( x \) u... [mehr]

Accepted Answer

Um die Ableitung der Funktion \( f(x) = x + \sqrt{x} \) zu bestimmen, gehen wir Schritt für Schritt vor. 1. **Identifikation der Funktionsteile**: Die Funktion besteht aus zwei Teilen: \( x \) und \( \sqrt{x} \). 2. **Ableitung der einzelnen Teile**: - Die Ableitung von \( x \) ist \( 1 \). - Die Ableitung von \( \sqrt{x} \) kann mit der Potenzregel abgeleitet werden. Zuerst schreiben wir \( \sqrt{x} \) als \( x^{1/2} \). Die Ableitung davon ist: \[ \frac{d}{dx}(x^{1/2}) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}. \] 3. **Zusammenführen der Ableitungen**: Jetzt addieren wir die Ableitungen der beiden Teile: \[ f'(x) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}. \] 4. **Endergebnis**: Die Ableitung der Funktion \( f(x) = x + \sqrt{x} \) ist somit: \[ f'(x) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}. \] Das ist die gesuchte Ableitung mit dem entsprechenden Lösungsweg.

Accepted Answer

Ja, die Funktion \( e^{-x^2} \) ist eine gerade Funktion. Eine Funktion \( f(x) \) ist gerade, wenn gilt: \( f(-x) = f(x) \) für alle \( x \) im Definitionsbereich der Funktion. Für \( f(x... [mehr]

Accepted Answer

Ja, die Funktion \( e^{-x^2} \) ist eine gerade Funktion. Eine Funktion \( f(x) \) ist gerade, wenn gilt: \( f(-x) = f(x) \) für alle \( x \) im Definitionsbereich der Funktion. Für \( f(x) = e^{-x^2} \) gilt: \[ f(-x) = e^{-(-x)^2} = e^{-x^2} = f(x) \] Da diese Gleichung für alle \( x \) zutrifft, ist \( e^{-x^2} \) eine gerade Funktion.

Accepted Answer

Die Funktion \( e^x \) ist eine ungerade Funktion. Eine Funktion \( f(x) \) ist ungerade, wenn gilt: \( f(-x) = -f(x) \) für alle \( x \). Bei \( e^x \) gilt jedoch \( e^{-x} = \frac{1}{e^x} \),... [mehr]

Accepted Answer

Die Funktion \( e^x \) ist eine ungerade Funktion. Eine Funktion \( f(x) \) ist ungerade, wenn gilt: \( f(-x) = -f(x) \) für alle \( x \). Bei \( e^x \) gilt jedoch \( e^{-x} = \frac{1}{e^x} \), was nicht gleich \( -e^x \) ist. Daher ist \( e^x \) weder gerade noch ungerade.

Accepted Answer

Um Aussagen über die Funktion \( f(x) = e^{v(x)} \) zu machen, wobei \( v(x) = x^2 \), betrachten wir zunächst die Ableitung von \( v(x) \). 1. **Ableitung von \( v(x) \)**: \[ v... [mehr]

Accepted Answer

Um Aussagen über die Funktion \( f(x) = e^{v(x)} \) zu machen, wobei \( v(x) = x^2 \), betrachten wir zunächst die Ableitung von \( v(x) \). 1. **Ableitung von \( v(x) \)**: \[ v'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \] 2. **Ableitung von \( f(x) \)**: Um die Ableitung von \( f(x) \) zu bestimmen, verwenden wir die Kettenregel: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(e^{v(x)}) = e^{v(x)} \cdot v'(x) = e^{x^2} \cdot 2x \] 3. **Verhalten von \( f(x) \)**: - \( f(x) \) ist immer positiv, da die Exponentialfunktion \( e^{x^2} \) für alle \( x \) positiv ist. - \( f'(x) = 2x e^{x^2} \) zeigt, dass die Funktion \( f(x) \) für \( x > 0 \) wächst (da \( f'(x) > 0 \)) und für \( x < 0 \) fällt (da \( f'(x) < 0 \)). Bei \( x = 0 \) hat die Funktion einen lokalen Extrempunkt. 4. **Extrempunkte**: - Der einzige kritische Punkt ist bei \( x = 0 \). Hier hat \( f(x) \) ein Minimum, da die Funktion für \( x < 0 \) abnimmt und für \( x > 0 \) zunimmt. Zusammenfassend kann man sagen, dass \( f(x) = e^{x^2} \) eine positive Funktion ist, die bei \( x = 0 \) ein Minimum hat und für \( x < 0 \) fällt und für \( x > 0 \) steigt.

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Um die dritte Ableitung der Funktion \( f(x) = (4x + 1) \cdot e^x \) zu berechnen, verwenden wir die Produktregel und die Ableitungen von \( e^x \). 1. **Erste Ableitung**: \[ f'(x) = (4x... [mehr]

Accepted Answer

Um die dritte Ableitung der Funktion \( f(x) = (4x + 1) \cdot e^x \) zu berechnen, verwenden wir die Produktregel und die Ableitungen von \( e^x \). 1. **Erste Ableitung**: \[ f'(x) = (4x + 1)' \cdot e^x + (4x + 1) \cdot (e^x)' \] \[ f'(x) = 4 \cdot e^x + (4x + 1) \cdot e^x = (4 + 4x + 1) \cdot e^x = (4x + 5) \cdot e^x \] 2. **Zweite Ableitung**: \[ f''(x) = (4x + 5)' \cdot e^x + (4x + 5) \cdot (e^x)' \] \[ f''(x) = 4 \cdot e^x + (4x + 5) \cdot e^x = (4 + 4x + 5) \cdot e^x = (4x + 9) \cdot e^x \] 3. **Dritte Ableitung**: \[ f'''(x) = (4x + 9)' \cdot e^x + (4x + 9) \cdot (e^x)' \] \[ f'''(x) = 4 \cdot e^x + (4x + 9) \cdot e^x = (4 + 4x + 9) \cdot e^x = (4x + 13) \cdot e^x \] Die dritte Ableitung von \( f(x) = (4x + 1) \cdot e^x \) ist also: \[ f'''(x) = (4x + 13) \cdot e^x \]

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Überschlagsrechnungen sind eine nützliche Methode, um schnell eine ungefähre Vorstellung von einem Ergebnis zu bekommen, ohne genaue Berechnungen durchführen zu müssen. Hier s... [mehr]

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Überschlagsrechnungen sind eine nützliche Methode, um schnell eine ungefähre Vorstellung von einem Ergebnis zu bekommen, ohne genaue Berechnungen durchführen zu müssen. Hier sind einige Schritte, um Überschlagsrechnungen durchzuführen: 1. **Rundung**: Runde die Zahlen auf einfache Werte. Zum Beispiel kann 47 auf 50 und 23 auf 20 gerundet werden. 2. **Einfachere Operationen**: Verwende die gerundeten Zahlen, um die Berechnung durchzuführen. In unserem Beispiel würde 50 + 20 = 70 ergeben. 3. **Schätzung**: Überlege, ob die gerundeten Zahlen sinnvoll sind und ob das Ergebnis realistisch ist. Manchmal kann es hilfreich sein, eine zweite Schätzung mit anderen gerundeten Werten vorzunehmen. 4. **Prüfung**: Vergleiche das Ergebnis mit den genauen Werten, um zu sehen, wie nah deine Schätzung war. Überschlagsrechnungen sind besonders nützlich im Alltag, zum Beispiel beim Einkaufen oder bei der Planung von Budgets.

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Um die Nullstellen der Funktion \( f(x) = (x - 2.5)^2 + 1 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ (x - 2.5)^2 + 1 = 0 \] Zuerst isolieren wir den quadratischen Term: \[ (x - 2.5)^2 = -... [mehr]

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Um die Nullstellen der Funktion \( f(x) = (x - 2.5)^2 + 1 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ (x - 2.5)^2 + 1 = 0 \] Zuerst isolieren wir den quadratischen Term: \[ (x - 2.5)^2 = -1 \] Da der Ausdruck \((x - 2.5)^2\) immer größer oder gleich null ist (da es sich um ein Quadrat handelt), kann er niemals gleich \(-1\) sein. Daher hat die Funktion \( f(x) = (x - 2.5)^2 + 1 \) keine Nullstellen.

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Um die Nullstellen der Funktion \( h(x) = x^2 - 1,5 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ x^2 - 1,5 = 0 \] Das kann umgeformt werden zu: \[ x^2 = 1,5 \] Nun zieht man die Quadra... [mehr]

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Um die Nullstellen der Funktion \( h(x) = x^2 - 1,5 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ x^2 - 1,5 = 0 \] Das kann umgeformt werden zu: \[ x^2 = 1,5 \] Nun zieht man die Quadratwurzel auf beiden Seiten: \[ x = \pm \sqrt{1,5} \] Die Nullstellen sind also: \[ x = \sqrt{1,5} \quad \text{und} \quad x = -\sqrt{1,5} \] Das ergibt die ungefähren Werte: \[ x \approx 1,22 \quad \text{und} \quad x \approx -1,22 \] Somit sind die Nullstellen von \( h(x) \) bei \( x \approx 1,22 \) und \( x \approx -1,22 \).