3 Fragen zu Extrema

Die Extremstellen der ersten Ableitung einer Funktion sind die Wendestellen der ursprünglichen Funktion, weil an diesen Punkten die Krümmung der ursprünglichen Funktion wechselt. Hier ist eine detaillierte Erklärung: 1. **Definition der Wendestelle**: Eine Wendestelle einer Funktion \( f(x) \) ist ein Punkt, an dem die Funktion von konvex (nach oben gekrümmt) zu konkav (nach unten gekrümmt) oder umgekehrt wechselt. Mathematisch bedeutet dies, dass die zweite Ableitung \( f''(x) \) an diesem Punkt das Vorzeichen wechselt. 2. **Erste Ableitung und ihre Extremstellen**: Die erste Ableitung \( f'(x) \) einer Funktion \( f(x) \) gibt die Steigung der Tangente an \( f(x) \) an jedem Punkt \( x \) an. Die Extremstellen der ersten Ableitung \( f'(x) \) sind die Punkte, an denen die Steigung der Tangente ein Maximum oder Minimum erreicht, also wo \( f'(x) \) selbst ein lokales Maximum oder Minimum hat. 3. **Zusammenhang zwischen erster und zweiter Ableitung**: Die zweite Ableitung \( f''(x) \) gibt die Änderungsrate der Steigung an, also wie sich die Steigung \( f'(x) \) ändert. Wenn \( f'(x) \) ein Extremum hat, dann ist die Änderungsrate der Steigung an diesem Punkt null, was bedeutet, dass \( f''(x) = 0 \). 4. **Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung**: An den Extremstellen von \( f'(x) \) wechselt die Steigung von \( f'(x) \) von steigend zu fallend oder umgekehrt. Dies impliziert, dass die zweite Ableitung \( f''(x) \) das Vorzeichen wechselt. Ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung ist genau das Kriterium für eine Wendestelle der ursprünglichen Funktion \( f(x) \). Zusammengefasst: Die Extremstellen der ersten Ableitung \( f'(x) \) sind die Punkte, an denen die zweite Ableitung \( f''(x) \) null ist und das Vorzeichen wechselt. Dies sind genau die Punkte, an denen die ursprüngliche Funktion \( f(x) \) eine Wendestelle hat.

Um lokale Extrema einer Funktion \( f \) zu finden, wenn nur der Graph ihrer Ableitungsfunktion \( f' \) gegeben ist, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Nullstellen von \( f' \) finden**: Identifiziere die Punkte, an denen \( f' \) den Wert 0 hat. Diese Punkte sind potenzielle Kandidaten für lokale Extrema der Funktion \( f \). 2. **Vorzeichenwechsel von \( f' \) analysieren**: Untersuche das Verhalten von \( f' \) um die Nullstellen herum: - Wenn \( f' \) von positiv zu negativ wechselt, hat \( f \) ein lokales Maximum an dieser Stelle. - Wenn \( f' \) von negativ zu positiv wechselt, hat \( f \) ein lokales Minimum an dieser Stelle. 3. **Zusätzliche Überprüfung**: Falls nötig, überprüfe das Verhalten von \( f' \) weiter, um sicherzustellen, dass es sich tatsächlich um ein Extremum handelt und nicht um einen Sattelpunkt (wo \( f' \) zwar 0 ist, aber kein Vorzeichenwechsel stattfindet). Durch diese Schritte kannst du die lokalen Extrema der Funktion \( f \) anhand des Graphen ihrer Ableitungsfunktion \( f' \) bestimmen.

Um mithilfe der zweiten Ableitung die Extremstellen einer Funktion \( f \) und die Art der Extrema zu ermitteln, gehst du wie folgt vor: 1. **Bestimme die erste Ableitung \( f'(x) \):** - Finde die Punkte, an denen \( f'(x) = 0 \) oder \( f'(x) \) nicht definiert ist. Diese Punkte sind die kritischen Punkte, an denen mögliche Extremstellen liegen können. 2. **Bestimme die zweite Ableitung \( f''(x) \):** - Berechne die zweite Ableitung der Funktion \( f \). 3. **Untersuche die kritischen Punkte mit der zweiten Ableitung:** - Setze die kritischen Punkte in die zweite Ableitung \( f''(x) \) ein. 4. **Bestimme die Art der Extrema:** - Wenn \( f''(x) > 0 \) an einem kritischen Punkt \( x = c \), dann hat \( f \) dort ein lokales Minimum. - Wenn \( f''(x) < 0 \) an einem kritischen Punkt \( x = c \), dann hat \( f \) dort ein lokales Maximum. - Wenn \( f''(x) = 0 \) an einem kritischen Punkt \( x = c \), kann die zweite Ableitung keine Aussage über die Art des Extremums machen. In diesem Fall sind weitere Untersuchungen notwendig, wie z.B. die Anwendung des Kriteriums höherer Ableitungen oder die Untersuchung des Funktionsverlaufs in der Umgebung des kritischen Punktes. Beispiel: Gegeben sei die Funktion \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \). 1. **Erste Ableitung:** \( f'(x) = 3x^2 - 6x \) 2. **Kritische Punkte:** Setze \( f'(x) = 0 \): \( 3x^2 - 6x = 0 \) \( 3x(x - 2) = 0 \) \( x = 0 \) oder \( x = 2 \) 3. **Zweite Ableitung:** \( f''(x) = 6x - 6 \) 4. **Untersuchung der kritischen Punkte:** - Für \( x = 0 \): \( f''(0) = 6(0) - 6 = -6 \) (negativ, also lokales Maximum) - Für \( x = 2 \): \( f''(2) = 6(2) - 6 = 6 \) (positiv, also lokales Minimum) Zusammengefasst: - Bei \( x = 0 \) hat \( f \) ein lokales Maximum. - Bei \( x = 2 \) hat \( f \) ein lokales Minimum.