Wie ermittelt man mithilfe der zweiten Ableitung die Extremstellen von f und die Art der Extrema?

Question

Wie ermittelt man mithilfe der zweiten Ableitung die Extremstellen von f und die Art der Extrema?

Antwort

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Ist die Funktion g(x) = |x-1| + |x-2| differenzierbar?

-cos(x) abgeleitet?

Wie lautet die Ableitung von f(x) = Wurzel(2x) unter Verwendung der Kettenregel (innere und äußere Ableitung)?

Wie lautet die erste Ableitung der Quadratwurzel von x?

Was ist die Ableitung von ax/(x+b)?

Accepted Answer

Um mithilfe der zweiten Ableitung die Extremstellen einer Funktion \( f \) und die Art der Extrema zu ermitteln, gehst du wie folgt vor: 1. **Bestimme die erste Ableitung \( f'(x) \):** - Finde die Punkte, an denen \( f'(x) = 0 \) oder \( f'(x) \) nicht definiert ist. Diese Punkte sind die kritischen Punkte, an denen mögliche Extremstellen liegen können. 2. **Bestimme die zweite Ableitung \( f''(x) \):** - Berechne die zweite Ableitung der Funktion \( f \). 3. **Untersuche die kritischen Punkte mit der zweiten Ableitung:** - Setze die kritischen Punkte in die zweite Ableitung \( f''(x) \) ein. 4. **Bestimme die Art der Extrema:** - Wenn \( f''(x) > 0 \) an einem kritischen Punkt \( x = c \), dann hat \( f \) dort ein lokales Minimum. - Wenn \( f''(x) < 0 \) an einem kritischen Punkt \( x = c \), dann hat \( f \) dort ein lokales Maximum. - Wenn \( f''(x) = 0 \) an einem kritischen Punkt \( x = c \), kann die zweite Ableitung keine Aussage über die Art des Extremums machen. In diesem Fall sind weitere Untersuchungen notwendig, wie z.B. die Anwendung des Kriteriums höherer Ableitungen oder die Untersuchung des Funktionsverlaufs in der Umgebung des kritischen Punktes. Beispiel: Gegeben sei die Funktion \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \). 1. **Erste Ableitung:** \( f'(x) = 3x^2 - 6x \) 2. **Kritische Punkte:** Setze \( f'(x) = 0 \): \( 3x^2 - 6x = 0 \) \( 3x(x - 2) = 0 \) \( x = 0 \) oder \( x = 2 \) 3. **Zweite Ableitung:** \( f''(x) = 6x - 6 \) 4. **Untersuchung der kritischen Punkte:** - Für \( x = 0 \): \( f''(0) = 6(0) - 6 = -6 \) (negativ, also lokales Maximum) - Für \( x = 2 \): \( f''(2) = 6(2) - 6 = 6 \) (positiv, also lokales Minimum) Zusammengefasst: - Bei \( x = 0 \) hat \( f \) ein lokales Maximum. - Bei \( x = 2 \) hat \( f \) ein lokales Minimum.

Accepted Answer

Die Funktion \( g(x) = |x-1| + |x-2| \) ist **nicht überall differenzierbar**. **Begründung:** Der Ausdruck \( |x-a| \) ist an der Stelle \( x = a \) **nicht differenzierbar**, da dort ein... [mehr]

Accepted Answer

Die Funktion \( g(x) = |x-1| + |x-2| \) ist **nicht überall differenzierbar**. **Begründung:** Der Ausdruck \( |x-a| \) ist an der Stelle \( x = a \) **nicht differenzierbar**, da dort ein "Knick" im Graphen ist. In deinem Fall gibt es zwei solche Stellen: bei \( x = 1 \) und bei \( x = 2 \). **Im Detail:** - Für \( x < 1 \): \( g(x) = (1-x) + (2-x) = 3 - 2x \) - Für \( 1 \leq x < 2 \): \( g(x) = (x-1) + (2-x) = 1 \) - Für \( x \geq 2 \): \( g(x) = (x-1) + (x-2) = 2x - 3 \) **Ableitungen:** - Für \( x < 1 \): \( g'(x) = -2 \) - Für \( 1 < x < 2 \): \( g'(x) = 0 \) - Für \( x > 2 \): \( g'(x) = 2 \) **An den Stellen \( x = 1 \) und \( x = 2 \):** - Bei \( x = 1 \): Linksseitige Ableitung ist \(-2\), rechtsseitige ist \(0\) ⇒ **nicht differenzierbar** - Bei \( x = 2 \): Linksseitige Ableitung ist \(0\), rechtsseitige ist \(2\) ⇒ **nicht differenzierbar** **Fazit:** \( g(x) \) ist **differenzierbar für alle \( x \) außer bei \( x = 1 \) und \( x = 2 \)**. An diesen beiden Stellen ist die Funktion **nicht differenzierbar**.

Accepted Answer

Die Ableitung von \(-\cos(x)\) nach \(x\) ist: \[ \frac{d}{dx}[-\cos(x)] = \sin(x) \] Das Minuszeichen bleibt erhalten, und die Ableitung von \(\cos(x)\) ist \(-\sin(x)\), also: \[ -\frac{d}{dx}[\c... [mehr]

Accepted Answer

Die Ableitung von \(-\cos(x)\) nach \(x\) ist: \[ \frac{d}{dx}[-\cos(x)] = \sin(x) \] Das Minuszeichen bleibt erhalten, und die Ableitung von \(\cos(x)\) ist \(-\sin(x)\), also: \[ -\frac{d}{dx}[\cos(x)] = -(-\sin(x)) = \sin(x) \]

Accepted Answer

Gegeben ist die Funktion: \( f(x) = \sqrt{2x} \) Das ist eine Verkettung zweier Funktionen: - **Äußere Funktion:** \( g(u) = \sqrt{u} = u^{1/2} \) - **Innere Funktion:** \( h(x) = 2x \)... [mehr]

Accepted Answer

Gegeben ist die Funktion: \( f(x) = \sqrt{2x} \) Das ist eine Verkettung zweier Funktionen: - **Äußere Funktion:** \( g(u) = \sqrt{u} = u^{1/2} \) - **Innere Funktion:** \( h(x) = 2x \) **1. Ableitung der äußeren Funktion:** \( g'(u) = \frac{1}{2} u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \) **2. Ableitung der inneren Funktion:** \( h'(x) = 2 \) **Kettenregel:** \( f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) \) **Einsetzen:** \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x}} \cdot 2 \) **Vereinfachen:** \( f'(x) = \frac{2}{2\sqrt{2x}} = \frac{1}{\sqrt{2x}} \) **Antwort:** Die Ableitung ist \[ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x}} \] **Innere Ableitung:** \( h'(x) = 2 \) **Äußere Ableitung:** \( g'(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \) **Gesamte Ableitung:** \( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x}} \)

Accepted Answer

Die zweite Wurzel von \( x \) ist gleich \( \sqrt{x} \) oder \( x^{1/2} \). Die erste Ableitung davon ist: \[ \frac{d}{dx} \left( x^{1/2} \right) = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \] **A... [mehr]

Accepted Answer

Die zweite Wurzel von \( x \) ist gleich \( \sqrt{x} \) oder \( x^{1/2} \). Die erste Ableitung davon ist: \[ \frac{d}{dx} \left( x^{1/2} \right) = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \] **Antwort:** Die erste Ableitung von \( \sqrt{x} \) ist \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \).

Accepted Answer

Um die Ableitung der Funktion \( f(x) = \frac{ax}{x + b} \) zu bestimmen, kannst du die Quotientenregel anwenden. Die Quotientenregel besagt, dass die Ableitung einer Funktion der Form \( \frac{u}{v}... [mehr]

Accepted Answer

Um die Ableitung der Funktion \( f(x) = \frac{ax}{x + b} \) zu bestimmen, kannst du die Quotientenregel anwenden. Die Quotientenregel besagt, dass die Ableitung einer Funktion der Form \( \frac{u}{v} \) gegeben ist durch: \[ f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Hier ist \( u = ax \) und \( v = x + b \). 1. Berechne die Ableitungen \( u' \) und \( v' \): - \( u' = a \) - \( v' = 1 \) 2. Setze die Werte in die Quotientenregel ein: \[ f'(x) = \frac{(a)(x + b) - (ax)(1)}{(x + b)^2} \] 3. Vereinfache den Zähler: \[ f'(x) = \frac{ax + ab - ax}{(x + b)^2} = \frac{ab}{(x + b)^2} \] Die Ableitung von \( \frac{ax}{x + b} \) ist also: \[ f'(x) = \frac{ab}{(x + b)^2} \]