Finde eine ganzrationale Funktion zweiten Grades, die durch den Punkt A(0|1) und den Tiefpunkt (2|-3) verläuft.

Question

Accepted Answer

Eine ganzrationale Funktion zweiten Grades hat die allgemeine Form $ f(x) = ax^2 + bx + c $. Da die Funktion durch den Punkt A(0|1) verläuft, gilt:

1. $ f(0) = c = 1 $

Somit können wir die Funktion umschreiben als:

$$ f(x) = ax^2 + bx + 1 $$

Da der Tiefpunkt bei (2|-3) liegt, wissen wir, dass $ f(2) = -3 $. Das ergibt die Gleichung:

2. $ f(2) = 4a + 2b + 1 = -3 $

Das vereinfacht sich zu:

$$ 4a + 2b = -4 $$
$$ 2a + b = -2 \quad \text{(Gleichung 1)} $$

Außerdem ist der Tiefpunkt der Funktion der Punkt, an dem die erste Ableitung gleich null ist. Die erste Ableitung der Funktion ist:

$$ f'(x) = 2ax + b $$

Setzen wir $ x = 2 $ ein, um die Bedingung für den Tiefpunkt zu erhalten:

3. $ f'(2) = 4a + b = 0 \quad \text{(Gleichung 2)} $

Jetzt haben wir ein System von zwei Gleichungen:

1. $ 2a + b = -2 $
2. $ 4a + b = 0 $

Um das System zu lösen, subtrahieren wir Gleichung 1 von Gleichung 2:

$$ (4a + b) - (2a + b) = 0 - (-2) $$
$$ 2a = 2 $$
$$ a = 1 $$

Setzen wir $ a = 1 $ in Gleichung 1 ein:

$$ 2(1) + b = -2 $$
$$ 2 + b = -2 $$
$$ b = -4 $$

Damit haben wir die Koeffizienten:

- $ a = 1 $
- $ b = -4 $
- $ c = 1 $

Die gesuchte Funktion lautet also:

$$ f(x) = x^2 - 4x + 1 $$

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