4 Fragen zu Wendestelle

Eine Wendestelle einer Funktion \( f \) ist ein Punkt, an dem die Krümmung der Funktion wechselt, also von konvex zu konkav oder umgekehrt. Mathematisch bedeutet dies, dass die zweite Ableitung \( f'' \) an diesem Punkt das Vorzeichen wechselt. Um zu zeigen, dass \( x_W \) eine Wendestelle ist, wenn \( f''(x_W) = 0 \) und \( f'''(x_W) \neq 0 \), kann man wie folgt argumentieren: 1. **Bedingung \( f''(x_W) = 0 \)**: Diese Bedingung stellt sicher, dass die Krümmung der Funktion \( f \) an der Stelle \( x_W \) null ist. Das bedeutet, dass die Tangente an \( f \) an dieser Stelle eine Wendeposition hat, aber das allein reicht nicht aus, um sicherzustellen, dass es sich um eine Wendestelle handelt. 2. **Bedingung \( f'''(x_W) \neq 0 \)**: Diese Bedingung stellt sicher, dass die zweite Ableitung \( f'' \) an der Stelle \( x_W \) tatsächlich das Vorzeichen wechselt. Wenn die dritte Ableitung \( f''' \) an \( x_W \) ungleich null ist, bedeutet dies, dass die Steigung der zweiten Ableitung \( f'' \) an dieser Stelle nicht null ist. Das impliziert, dass \( f'' \) in der Nähe von \( x_W \) das Vorzeichen wechselt. Zusammengefasst: - \( f''(x_W) = 0 \) bedeutet, dass die Krümmung an \( x_W \) null ist. - \( f'''(x_W) \neq 0 \) bedeutet, dass \( f'' \) in der Nähe von \( x_W \) das Vorzeichen wechselt. Daher ist \( x_W \) eine Wendestelle der Funktion \( f \).

Eine Funktion \( f \) hat an der Stelle \( a \) eine Wendestelle, wenn die zweite Ableitung \( f''(a) = 0 \) ist und sich das Vorzeichen der zweiten Ableitung um diesen Punkt ändert. Das bedeutet, dass die Funktion an dieser Stelle von einer konvexen (nach oben geöffnet) in eine konkave (nach unten geöffnet) oder umgekehrt wechselt. Um dies zu überprüfen, solltest du die zweite Ableitung der Funktion berechnen und die Bedingungen an der Stelle \( a \) prüfen.

Um den Hochpunkt, Tiefpunkt und die Wendestelle der Funktion \( f(x) = \left(\frac{1}{3}x + 2\right)^2 \cdot x \) zu bestimmen, müssen wir die und zweiten Ableitungen der Funktion berechnen. 1. **Erste Ableitung \( f'(x) \)**: Verwende die Produktregel und die Kettenregel. Setze \( u = \left(\frac{1}{3}x + 2\right)^2 \) und \( v = x \). \[ f'(x) = u'v + uv' \] Berechne \( u' \) und \( v' \): - \( u' = 2\left(\frac{1}{3}x + 2\right) \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\left(\frac{1}{3}x + 2\right) \) - \( v' = 1 \) Setze dies in die Produktregel ein: \[ f'(x) = \frac{2}{3}\left(\frac{1}{3}x + 2\right) \cdot x + \left(\frac{1}{3}x + 2\right)^2 \] Setze \( f'(x) = 0 \), um die kritischen Punkte zu finden. 2. **Zweite Ableitung \( f''(x) \)**: Berechne die zweite Ableitung, um die Art der kritischen Punkte zu bestimmen (Hochpunkt, Tiefpunkt oder Wendepunkt). \[ f''(x) = \text{Ableitung von } f'(x) \] Setze die kritischen Punkte in \( f''(x) \) ein, um zu bestimmen, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt. 3. **Wendepunkte**: Setze \( f''(x) = 0 \) und löse nach \( x \) auf, um die Wendepunkte zu finden. Die genauen Berechnungen der Ableitungen und das Lösen der Gleichungen erfordern einige algebraische Schritte. Wenn du diese Schritte durchführst, erhältst du die genauen Werte für Hochpunkte, Tiefpunkte und Wendepunkte.

Die dritte Ableitung muss bei Wendestellen nicht ungleich null sein. Eine Wendestelle ist definiert als ein Punkt, an dem sich das Krümmungsverhalten einer Funktion ändert, also von konvex nach konkav oder umgekehrt. Dies geschieht, wenn die zweite Ableitung der Funktion an diesem Punkt gleich null ist und sich das Vorzeichen der zweiten Ableitung ändert. Die dritte Ableitung kann an einer Wendestelle gleich null sein, muss es aber nicht. Wenn die dritte Ableitung an einer Wendestelle gleich null ist, kann dies darauf hindeuten, dass die Funktion an dieser Stelle eine flachere Krümmung hat, aber es ist nicht zwingend erforderlich. Es ist wichtig, die zweite Ableitung zu betrachten, um die Wendestelle zu identifizieren, während die dritte Ableitung zusätzliche Informationen über das Verhalten der Funktion in der Nähe dieser Stelle liefern kann.