Um den Hochpunkt, Tiefpunkt und die Wendestelle der Funktion \( f(x) = \left(\frac{1}{3}x + 2\right)^2 \cdot x \) zu bestimmen, müssen wir die und zweiten Ableitungen der Funktion berechnen. 1. **Erste Ableitung \( f'(x) \)**: Verwende die Produktregel und die Kettenregel. Setze \( u = \left(\frac{1}{3}x + 2\right)^2 \) und \( v = x \). \[ f'(x) = u'v + uv' \] Berechne \( u' \) und \( v' \): - \( u' = 2\left(\frac{1}{3}x + 2\right) \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\left(\frac{1}{3}x + 2\right) \) - \( v' = 1 \) Setze dies in die Produktregel ein: \[ f'(x) = \frac{2}{3}\left(\frac{1}{3}x + 2\right) \cdot x + \left(\frac{1}{3}x + 2\right)^2 \] Setze \( f'(x) = 0 \), um die kritischen Punkte zu finden. 2. **Zweite Ableitung \( f''(x) \)**: Berechne die zweite Ableitung, um die Art der kritischen Punkte zu bestimmen (Hochpunkt, Tiefpunkt oder Wendepunkt). \[ f''(x) = \text{Ableitung von } f'(x) \] Setze die kritischen Punkte in \( f''(x) \) ein, um zu bestimmen, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt. 3. **Wendepunkte**: Setze \( f''(x) = 0 \) und löse nach \( x \) auf, um die Wendepunkte zu finden. Die genauen Berechnungen der Ableitungen und das Lösen der Gleichungen erfordern einige algebraische Schritte. Wenn du diese Schritte durchführst, erhältst du die genauen Werte für Hochpunkte, Tiefpunkte und Wendepunkte.