Wie kann man bei einem gleichseitigen Dreieck, wo zwei Punkte bekannt sind, den dritten Punkt rechnerisch bestimmen?

Um den dritten Punkt eines gleichseitigen Dreiecks zu bestimmen, wenn die Koordinaten der beiden anderen Punkte bekannt sind, kannst du folgende Schritte befolgen:

1. **Bezeichne die Punkte**: Nennen wir die beiden bekannten Punkte \( A(x_1, y_1) \) und \( B(x_2, y_2) \).

2. **Berene die Länge der Seite**: Die Länge der Seite \( AB \) ist gegeben durch die Formel:
\[
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\]

3. **Bestimme die möglichen Positionen des dritten Punktes**: Der dritte Punkt \( C(x_3, y_3) \) muss so liegen, dass die Abstände \( AC \) und \( BC \) ebenfalls gleich der Länge \( d \) sind. Es gibt zwei mögliche Positionen für \( C \), die durch eine Drehung von \( 60^\circ \) oder \( -60^\circ \) um den Punkt \( A \) oder \( B \) entstehen.

4. **Berechne die Koordinaten von \( C \)**:
- Um den Punkt \( C \) durch Drehung um \( A \) zu finden, kannst du die folgenden Formeln verwenden:
\[
x_3 = x_1 + \frac{d}{2} \cdot \cos\left(\theta\right)
\]
\[
y_3 = y_1 + \frac{d}{2} \cdot \sin\left(\theta\right)
\]
wobei \( \theta = 60^\circ \) für eine Position und \( \theta = -60^\circ \) für die andere Position.

- Alternativ kannst du die Koordinaten von \( C \) auch durch Drehung um \( B \) berechnen.

5. **Setze die Werte ein**: Berechne die Koordinaten von \( C \) für beide Drehungen, um die beiden möglichen Positionen zu erhalten.

Durch diese Schritte kannst du die Koordinaten des dritten Punktes eines gleichseitigen Dreiecks bestimmen.