2 Fragen zu Potenzgleichung

Um die Potenzgleichung \( x^{-1} = 5 \) rechnerisch zu lösen, kannst du die Gleichung umformen: 1. Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \( x \) (vorausgesetzt \( x \neq 0 \)): \[ 1 = 5x \] 2. Teile beide Seiten durch 5: \[ x = \frac{1}{5} \] Die Lösung der Gleichung ist also \( x = \frac{1}{5} \). Für die grafische Lösung mit einem GTR (Grafik-Taschenrechner) kannst du die beiden Funktionen \( f(x) = x^{-1} \) und \( g(x) = 5 \) zeichnen. 1. Zeichne die Funktion \( f(x) = \frac{1}{x} \). Diese Funktion hat eine Hyperbelform und ist für \( x > 0 \) und \( x < 0 \) definiert, aber nicht für \( x = 0 \). 2. Zeichne die horizontale Linie \( g(x) = 5 \). Der Schnittpunkt der beiden Graphen gibt die Lösung der Gleichung an. In diesem Fall wird der Schnittpunkt bei \( x = \frac{1}{5} \) liegen.

Beim Lösen von Potenzgleichungen unterscheidet man in mehreren Fällen: 1. **Gleiche Basen**: Wenn die Basen der Potenzen gleich sind, kann man die Exponenten gleichsetzen. Beispiel: \( a^x = a^y \) führt zu \( x = y \), vorausgesetzt \( a \neq 0 \) und \( a \neq 1 \). 2. **Unterschiedliche Basen**: Hier kann man logarithmische Methoden verwenden. Beispiel: \( a^x = b^y \) kann durch Anwendung des Logarithmus auf beide Seiten gelöst werden. 3. **Potenzgleichungen mit Variablen im Exponenten**: Diese erfordern oft spezielle Techniken, wie das Umformen oder die Anwendung von Logarithmen. Beispiel: \( 2^x = 3 \) wird durch \( x = \log_2(3) \) gelöst. 4. **Negative und gebrochene Exponenten**: Hier muss man darauf achten, dass die Basis positiv ist, um reale Lösungen zu finden. 5. **Spezielle Fälle**: Wenn die Gleichung eine Form wie \( x^n = k \) hat, wobei \( n \) eine gerade Zahl ist, muss man die Wurzel ziehen und die möglichen positiven und negativen Lösungen berücksichtigen. Diese Unterscheidungen helfen, die geeigneten Lösungsansätze für verschiedene Arten von Potenzgleichungen zu wählen.