Wie löst man 3^(x-1)+5^(x+3)=3^(x+1)+5^(x-2)?

**\(x=-\frac{5}{2}\).** Bringe die Potenzen auf dieselbe Basis zurück: \[ 3^{x-1}+5^{x+3}=3^{x+1}+5^{x-2} \] \[ 3^{x-1}+125\cdot 5^x=9\cdot 3^{x-1}+\frac{1}{25}\cdot 5^x \] Jetzt gleichartige Terme zusammenfassen: \[ 125\cdot 5^x-\frac{1}{25}\cdot 5^x=9\cdot 3^{x-1}-3^{x-1} \] \[ \left(125-\frac{1}{25}\right)5^x=8\cdot 3^{x-1} \] \[ \frac{3124}{25}5^x=8\cdot 3^{x-1} \] Bequemer ist aber, direkt zu faktorisieren: \[ 3^{x-1}(1-9)+5^{x-2}(125000-1) \] Das ist unnötig kompliziert. Der saubere Weg ist: \[ 3^{x-1}(1-9)+5^{x-2}(5^5-1)=0 \] denn \[ 5^{x+3}=5^{x-2}\cdot 5^5 \] also: \[ -8\cdot 3^{x-1}+3124\cdot 5^{x-2}=0 \] \[ 3124\cdot 5^{x-2}=8\cdot 3^{x-1} \] \[ 781\cdot 5^{x-2}=2\cdot 3^{x-1} \] Jetzt teste den Exponentenvergleich über Umformen: \[ \frac{5^{x-2}}{3^{x-1}}=\frac{2}{781} \] \[ \left(\frac{5}{3}\right)^x\cdot \frac{3}{25}=\frac{2}{781} \] \[ \left(\frac{5}{3}\right)^x=\frac{50}{2343} \] Daraus folgt \[ x=\frac{\ln(50/2343)}{\ln(5/3)}\approx -7.53 \] **Also ist die richtige Lösung \(x\approx -7{,}53\), nicht \(-\frac52\).**