3 Fragen zu Exponentialgleichung

Um die Exponentialgleichung \( 16^{x+16} 10 \cdot4^x \) zu lösen, können wir die Basis umformen. Zunächst schreiben wir \( 16 \) und \( 4 \) als Potenzen von \( 2 \): \[ 16 = 2^4 \quad \text{und} \quad 4 = 2^2 \] Somit wird die Gleichung: \[ (2^4)^{x+16} = 10 \cdot (2^2)^x \] Das vereinfacht sich zu: \[ 2^{4(x+16)} = 10 \cdot 2^{2x} \] Nun können wir die Exponenten auf der linken Seite zusammenfassen: \[ 2^{4x + 64} = 10 \cdot 2^{2x} \] Um die Gleichung zu vereinfachen, teilen wir beide Seiten durch \( 2^{2x} \): \[ 2^{4x + 64 - 2x} = 10 \] Das vereinfacht sich zu: \[ 2^{2x + 64} = 10 \] Nun wenden wir den Logarithmus an, um \( x \) zu isolieren: \[ 2x + 64 = \log_2(10) \] Daraus folgt: \[ 2x = \log_2(10) - 64 \] Und schließlich: \[ x = \frac{\log_2(10) - 64}{2} \] Um \( x \) zu berechnen, kannst du den Wert von \( \log_2(10) \) verwenden, der ungefähr \( 3.32193 \) beträgt: \[ x \approx \frac{3.32193 - 64}{2} \approx \frac{-60.67807}{2} \approx -30.339035 \] Da es sich um eine Exponentialgleichung handelt, gibt es in diesem Fall nur eine Lösung für \( x \). Daher ist \( x_1 \approx -30.34 \) und es gibt kein \( x_2 \).

Um die Gleichung \(2^{(x+1)} + 2^x = 3^{(x+1)} + 3^\) zu vereinfachen, kannst du die Potenzen umschreiben und dann versuchen, die Gleichung zu lösen. Hier sind die Schritte: 1. Schreibe die Potenzen um: \[ 2^{(x+1)} = 2 \cdot 2^x \quad \text{und} \quad 3^{(x+1)} = 3 \cdot 3^x \] 2. Setze diese Umformungen in die Gleichung ein: \[ 2 \cdot 2^x + 2^x = 3 \cdot 3^x + 3^x \] 3. Faktoriere \(2^x\) und \(3^x\) aus: \[ 2^x (2 + 1) = 3^x (3 + 1) \] 4. Vereinfache die Ausdrücke in den Klammern: \[ 2^x \cdot 3 = 3^x \cdot 4 \] 5. Teile beide Seiten der Gleichung durch \(2^x\): \[ 3 = 4 \left(\frac{3}{2}\right)^x \] 6. Teile beide Seiten der Gleichung durch 4: \[ \frac{3}{4} = \left(\frac{3}{2}\right)^x \] 7. Schreibe die Gleichung in logarithmischer Form, um \(x\) zu isolieren: \[ x = \log_{\frac{3}{2}} \left(\frac{3}{4}\right) \] 8. Verwende die Eigenschaft des Logarithmus, dass \(\log_b(a) = \frac{\log(a)}{\log(b)}\): \[ x = \frac{\log \left(\frac{3}{4}\right)}{\log \left(\frac{3}{2}\right)} \] Das ist die vereinfachte Form der Lösung für \(x\).

Um die Gleichung \( x^x = 20 \) zu lösen, kann man logarithmische Methoden oder numerische Näherungsverfahren verwenden, da es keine einfache algebraische Lösung gibt. Eine Möglichkeit ist, den natürlichen Logarithmus auf beide Seiten anzuwenden: \[ \ln(x^x) = \ln(20) \] Das vereinfacht sich zu: \[ x \cdot \ln(x) = \ln(20) \] Um \( x \) zu finden, kann man numerische Methoden wie das Newton-Raphson-Verfahren oder grafische Methoden verwenden. Eine Näherung für \( x \) ist etwa \( x \approx 2.7 \). Für genauere Werte kann ein Rechner oder eine Software verwendet werden, um die Lösung zu verfeinern.