Löse die Exponentialgleichung 16^x + 16 = 10 ⋅ 4^x und bestimme x1 und x2.

Um die Exponentialgleichung \( 16^{x+16} 10 \cdot4^x \) zu lösen, können wir die Basis umformen. Zunächst schreiben wir \( 16 \) und \( 4 \) als Potenzen von \( 2 \):

\[
16 = 2^4 \quad \text{und} \quad 4 = 2^2
\]

Somit wird die Gleichung:

\[
(2^4)^{x+16} = 10 \cdot (2^2)^x
\]

Das vereinfacht sich zu:

\[
2^{4(x+16)} = 10 \cdot 2^{2x}
\]

Nun können wir die Exponenten auf der linken Seite zusammenfassen:

\[
2^{4x + 64} = 10 \cdot 2^{2x}
\]

Um die Gleichung zu vereinfachen, teilen wir beide Seiten durch \( 2^{2x} \):

\[
2^{4x + 64 - 2x} = 10
\]

Das vereinfacht sich zu:

\[
2^{2x + 64} = 10
\]

Nun wenden wir den Logarithmus an, um \( x \) zu isolieren:

\[
2x + 64 = \log_2(10)
\]

Daraus folgt:

\[
2x = \log_2(10) - 64
\]

Und schließlich:

\[
x = \frac{\log_2(10) - 64}{2}
\]

Um \( x \) zu berechnen, kannst du den Wert von \( \log_2(10) \) verwenden, der ungefähr \( 3.32193 \) beträgt:

\[
x \approx \frac{3.32193 - 64}{2} \approx \frac{-60.67807}{2} \approx -30.339035
\]

Da es sich um eine Exponentialgleichung handelt, gibt es in diesem Fall nur eine Lösung für \( x \). Daher ist \( x_1 \approx -30.34 \) und es gibt kein \( x_2 \).