12 Fragen zu Additionsverfahren

Um das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren zu lösen, folge diesen Schritten: 1. Schreibe die Gleichungen in eine standardisierte Form: \[ \frac{8}{11}x + \frac{3}{4}y = 14 \] \[ \frac{6}{11}x - \frac{1}{2}y = 2 \] 2. Multipliziere die Gleichungen so, dass die Koeffizienten von \(y\) gleich werden. Dazu finden wir das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner der \(y\)-Koeffizienten (4 und 2), was 4 ist. Multipliziere die zweite Gleichung mit 2: \[ 2 \left( \frac{6}{11}x - \frac{1}{2}y \right) = 2 \cdot 2 \] \[ \frac{12}{11}x - y = 4 \] 3. Nun haben wir das System: \[ \frac{8}{11}x + \frac{3}{4}y = 14 \] \[ \frac{12}{11}x - y = 4 \] 4. Multipliziere die erste Gleichung mit 4, um die \(y\)-Koeffizienten gleich zu machen: \[ 4 \left( \frac{8}{11}x + \frac{3}{4}y \right) = 4 \cdot 14 \] \[ \frac{32}{11}x + 3y = 56 \] 5. Nun haben wir das System: \[ \frac{32}{11}x + 3y = 56 \] \[ \frac{12}{11}x - y = 4 \] 6. Multipliziere die zweite Gleichung mit 3, um die \(y\)-Koeffizienten gleich zu machen: \[ 3 \left( \frac{12}{11}x - y \right) = 3 \cdot 4 \] \[ \frac{36}{11}x - 3y = 12 \] 7. Nun haben wir das System: \[ \frac{32}{11}x + 3y = 56 \] \[ \frac{36}{11}x - 3y = 12 \] 8. Addiere die beiden Gleichungen, um \(y\) zu eliminieren: \[ \left( \frac{32}{11}x + 3y \right) + \left( \frac{36}{11}x - 3y \right) = 56 + 12 \] \[ \frac{68}{11}x = 68 \] 9. Löse nach \(x\) auf: \[ x = 1 \] 10. Setze \(x = 1\) in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um \(y\) zu finden. Verwende die zweite Gleichung: \[ \frac{6}{11}(1) - \frac{1}{2}y = 2 \] \[ \frac{6}{11} - \frac{1}{2}y = 2 \] \[ -\frac{1}{2}y = 2 - \frac{6}{11} \] \[ -\frac{1}{2}y = \frac{22}{11} - \frac{6}{11} \] \[ -\frac{1}{2}y = \frac{16}{11} \] \[ y = -\frac{16}{11} \cdot 2 \] \[ y = -\frac{32}{11} \] Das Lösungspaar ist: \[ x = 1, \quad y = -\frac{32}{11} \]

Um die Gleichungen \(4x + y = 27\) und \(3x + 4y = 43\) mit dem Additionsverfahren zu lösen, folge diesen Schritten: 1. **Gleichung umstellen**: Zuerst stellen wir die erste Gleichung so um, dass \(y\) isoliert ist: \[ y = 27 - 4x \] 2. **Einsetzen**: Setze \(y\) aus der ersten Gleichung in die zweite Gleichung ein: \[ 3x + 4(27 - 4x) = 43 \] 3. **Ausmultiplizieren**: \[ 3x + 108 - 16x = 43 \] 4. **Zusammenfassen**: \[ -13x + 108 = 43 \] 5. **Umstellen**: \[ -13x = 43 - 108 \] \[ -13x = -65 \] \[ x = 5 \] 6. **Wert für \(x\) in die erste Gleichung einsetzen**: \[ y = 27 - 4(5) \] \[ y = 27 - 20 \] \[ y = 7 \] Die Lösung des Gleichungssystems ist also: \[ x = 5, \quad y = 7 \] Du kannst die Werte \(x\) und \(y\) in beide ursprünglichen Gleichungen einsetzen, um zu überprüfen, ob sie korrekt sind.

Um die Lösungsmenge des gegebenen Gleichungssystems mit dem Additionsverfahren zu bestimmen, betrachten wir die beiden Gleichungen: 1. \( 3x + 5y = 2 \) (Gleichung 1) 2. \( -15x + 25y = -19 \) (Gleichung 2) Zuerst können wir die zweite Gleichung so umformen, dass sie einfacher zu handhaben ist. Wir teilen die gesamte Gleichung durch -5: \[ 3x - 5y = 3.8 \quad \text{(Gleichung 2 umgeformt)} \] Jetzt haben wir das Gleichungssystem: 1. \( 3x + 5y = 2 \) 2. \( 3x - 5y = 3.8 \) Nun subtrahieren wir die erste Gleichung von der zweiten: \[ (3x - 5y) - (3x + 5y) = 3.8 - 2 \] Das vereinfacht sich zu: \[ -10y = 1.8 \] Nun lösen wir nach \( y \) auf: \[ y = \frac{1.8}{-10} = -0.18 \] Jetzt setzen wir den Wert von \( y \) in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen ein, um \( x \) zu finden. Wir verwenden die erste Gleichung: \[ 3x + 5(-0.18) = 2 \] Das vereinfacht sich zu: \[ 3x - 0.9 = 2 \] Nun addieren wir 0.9 zu beiden Seiten: \[ 3x = 2 + 0.9 \] \[ 3x = 2.9 \] Jetzt teilen wir durch 3: \[ x = \frac{2.9}{3} \approx 0.9667 \] Die Lösungsmenge des Gleichungssystems ist somit: \[ \left( x, y \right) = \left( \frac{2.9}{3}, -0.18 \right) \quad \text{oder} \quad \left( 0.9667, -0.18 \right) \]

Um die Gleichungen \(6x + 4y = 9\) und \(6x - 5y = -18\) mit dem Additionsverfahren zu lösen, folge diesen Schritten: 1. **Gleichungen aufstellen:** \[ (1) \quad 6x + 4y = 9 \] \[ (2) \quad 6x - 5y = -18 \] 2. **Gleichungen so umformen, dass eine der Variablen eliminiert wird.** Wir subtrahieren die zweite Gleichung von der ersten: \[ (1) - (2): \quad (6x + 4y) - (6x - 5y) = 9 - (-18) \] Dies vereinfacht sich zu: \[ 4y + 5y = 9 + 18 \] \[ 9y = 27 \] 3. **Löse nach \(y\) auf:** \[ y = \frac{27}{9} = 3 \] 4. **Setze \(y\) in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um \(x\) zu finden.** Wir verwenden die erste Gleichung: \[ 6x + 4(3) = 9 \] \[ 6x + 12 = 9 \] \[ 6x = 9 - 12 \] \[ 6x = -3 \] \[ x = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2} \] 5. **Lösung:** Die Lösung des Gleichungssystems ist: \[ x = -\frac{1}{2}, \quad y = 3 \]

Um das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren zu lösen, gehen wir wie folgt vor: 1. **Gleichungen aufschreiben:** \[ 1) \quad 3x - 5y = -14 \quad (Gleichung 1) \] \[ 2) \quad x + y = 6 \quad (Gleichung 2) \] 2. **Gleichung 2 umstellen, um \(x\) oder \(y\) auszudrücken:** \[ x = 6 - y \] 3. **\(x\) in Gleichung 1 einsetzen:** \[ 3(6 - y) - 5y = -14 \] 4. **Gleichung vereinfachen:** \[ 18 - 3y - 5y = -14 \] \[ 18 - 8y = -14 \] 5. **Nach \(y\) umstellen:** \[ -8y = -14 - 18 \] \[ -8y = -32 \] \[ y = 4 \] 6. **\(y\) in Gleichung 2 einsetzen, um \(x\) zu finden:** \[ x + 4 = 6 \] \[ x = 2 \] 7. **Lösung des Gleichungssystems:** \[ x = 2, \quad y = 4 \] Die Lösung des Systems ist \(x = 2\) und \(y = 4\).

Um das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren zu lösen, müssen wir die beiden Gleichungen zuerst in eine standardisierte Form bringen. Die gegebenen Gleichungen sind: 1. \(2x + 3y = 1x\) 2. \(3x + 4.5y = 1.5\) Zuerst vereinfachen wir die erste Gleichung: 1. \(2x + 3y - 1x = 0\) Das vereinfacht sich zu: \(x + 3y = 0\) (Gleichung 1) Die zweite Gleichung bleibt unverändert: 2. \(3x + 4.5y = 1.5\) (Gleichung 2) Jetzt haben wir das Gleichungssystem: 1. \(x + 3y = 0\) 2. \(3x + 4.5y = 1.5\) Nun lösen wir die erste Gleichung nach \(x\) auf: \(x = -3y\) Jetzt setzen wir \(x\) in die zweite Gleichung ein: \(3(-3y) + 4.5y = 1.5\) Das vereinfacht sich zu: \(-9y + 4.5y = 1.5\) \(-4.5y = 1.5\) Nun teilen wir beide Seiten durch \(-4.5\): \(y = \frac{1.5}{-4.5} = -\frac{1}{3}\) Jetzt setzen wir \(y\) zurück in die Gleichung für \(x\): \(x = -3(-\frac{1}{3}) = 1\) Die Lösung des Gleichungssystems ist: \(x = 1\) und \(y = -\frac{1}{3}\).

Um das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren zu lösen, gehen wir wie folgt vor: Gegeben sind die Gleichungen: 1. \( Y = 2X + 11 \) (Gleichung 1) 2. \( 8X + 4Y = -4 \) (Gleichung 2) Zuerst setzen wir die Gleichung 1 in die Gleichung 2 ein. Dazu ersetzen wir \( Y \) in Gleichung 2: \[ 8X + 4(2X + 11) = -4 \] Nun lösen wir die Gleichung: \[ 8X + 8X + 44 = -4 \] \[ 16X + 44 = -4 \] \[ 16X = -4 - 44 \] \[ 16X = -48 \] \[ X = -3 \] Jetzt setzen wir den Wert von \( X \) in die Gleichung 1 ein, um \( Y \) zu finden: \[ Y = 2(-3) + 11 \] \[ Y = -6 + 11 \] \[ Y = 5 \] Die Lösung des Gleichungssystems ist also: \[ X = -3, \quad Y = 5 \] Das Ergebnis ist der Punkt \( (-3, 5) \).

Um das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren zu lösen, gehen wir wie folgt vor: Gegeben sind die Gleichungen: 1. \( Y = 2X + 11 \) 2. \( 8X + 4Y = -4 \) Zuerst setzen wir die erste Gleichung in die zweite ein. Dazu ersetzen wir \( Y \) in der zweiten Gleichung: \[ 8X + 4(2X + 11) = -4 \] Nun lösen wir die Gleichung: \[ 8X + 8X + 44 = -4 \] \[ 16X + 44 = -4 \] \[ 16X = -4 - 44 \] \[ 16X = -48 \] \[ X = -3 \] Jetzt setzen wir den Wert von \( X \) in die erste Gleichung ein, um \( Y \) zu finden: \[ Y = 2(-3) + 11 \] \[ Y = -6 + 11 \] \[ Y = 5 \] Die Lösung des Gleichungssystems ist also: \[ X = -3, \quad Y = 5 \] Das Ergebnis ist \( (X, Y) = (-3, 5) \).

Um das Additionsverfahren für die Gleichungen \(9x - 3y = 27\) und \(8x - 5y = 17\) anzuwenden, folge diesen Schritten: 1. **Gleichungen aufstellen**: \[ (1) \quad 9x - 3y = 27 \] \[ (2) \quad 8x - 5y = 17 \] 2. **Gleichung (1) umformen**: Um die Gleichungen einfacher addieren oder subtrahieren zu können, ist es oft hilfreich, sie so umzuformen, dass die Koeffizienten von \(y\) gleich sind. Multipliziere die erste Gleichung mit 5 und die zweite mit 3: \[ (1') \quad 5(9x - 3y) = 5(27) \quad \Rightarrow \quad 45x - 15y = 135 \] \[ (2') \quad 3(8x - 5y) = 3(17) \quad \Rightarrow \quad 24x - 15y = 51 \] 3. **Gleichungen subtrahieren**: Jetzt subtrahiere die zweite umgeformte Gleichung von der ersten: \[ (1') - (2') \quad \Rightarrow \quad (45x - 15y) - (24x - 15y) = 135 - 51 \] \[ 21x = 84 \] 4. **Löse nach \(x\)**: \[ x = \frac{84}{21} = 4 \] 5. **Setze \(x\) in eine der ursprünglichen Gleichungen ein**: Setze \(x = 4\) in die erste Gleichung ein: \[ 9(4) - 3y = 27 \] \[ 36 - 3y = 27 \] \[ -3y = 27 - 36 \] \[ -3y = -9 \quad \Rightarrow \quad y = 3 \] 6. **Lösung**: Die Lösung des Gleichungssystems ist: \[ x = 4, \quad y = 3 \] Die Lösung ist also \( (4, 3) \).

Das Standard-Additionsverfahren ist eine analytische Methode, die häufig in der Chemie verwendet wird, um die Konzentration eines Analyten in einer Probe zu bestimmen. Es wird besonders dann eingesetzt, wenn Matrixeffekte die Messung beeinflussen könnten. Hier ist eine allgemeine Vorgehensweise: 1. **Probenvorbereitung**: Bereite die Probe vor, die den Analyten enthält, dessen Konzentration du bestimmen möchtest. 2. **Erste Messung**: Messe das Signal (z.B. Absorption, Fluoreszenz) der reinen Probe ohne Zusätze. 3. **Standardzusätze**: Füge der Probe bekannte Mengen des Analyten hinzu. Dies geschieht in mehreren Schritten, wobei jede Zugabe eine bekannte Konzentrationserhöhung des Analyten bewirkt. 4. **Messungen nach Zusätzen**: Messe das Signal nach jeder Zugabe des Standards. 5. **Datenanalyse**: Trage die gemessenen Signale gegen die hinzugefügten Konzentrationen des Standards auf. Die resultierende Kurve sollte linear sein. 6. **Extrapolation**: Extrapoliere die Linie bis sie die x-Achse schneidet. Der Schnittpunkt gibt die negative Konzentration des Analyten in der ursprünglichen Probe an. Durch diese Methode kannst du die ursprüngliche Konzentration des Analyten in der Probe bestimmen, ohne dass Matrixeffekte das Ergebnis verfälschen.

Um die Gleichungssysteme mit dem Additionsverfahren zu lösen, gehen wir wie folgt vor: Gegeben sind die Gleichungen: 1. \( 5x - 10y = 20 \) (Gleichung 1) 2. \( -3x + 6y = -10 \) (Gleichung 2) Zuerst multiplizieren wir die zweite Gleichung mit 5, um die Koeffizienten von \( x \) gleich zu machen: \[ 5 \cdot (-3x + 6y) = 5 \cdot (-10) \] Das ergibt: \[ -15x + 30y = -50 \quad \text{(Gleichung 3)} \] Nun haben wir: 1. \( 5x - 10y = 20 \) (Gleichung 1) 2. \( -15x + 30y = -50 \) (Gleichung 3) Jetzt addieren wir die beiden Gleichungen: \[ (5x - 10y) + (-15x + 30y) = 20 + (-50) \] Das vereinfacht sich zu: \[ -10x + 20y = -30 \] Teilen wir die gesamte Gleichung durch -10: \[ x - 2y = 3 \quad \text{(Gleichung 4)} \] Jetzt haben wir eine neue Gleichung (Gleichung 4). Um \( y \) zu isolieren, können wir die Gleichung umstellen: \[ x = 2y + 3 \] Nun setzen wir \( x \) in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, zum Beispiel in Gleichung 1: \[ 5(2y + 3) - 10y = 20 \] Das ergibt: \[ 10y + 15 - 10y = 20 \] Vereinfachen wir das: \[ 15 = 20 \] Diese Gleichung ist nicht wahr, was bedeutet, dass das ursprüngliche Gleichungssystem keine Lösung hat. Die beiden Gleichungen sind parallel und schneiden sich nicht.

Um das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren zu lösen, gehen wir wie folgt vor: 1. Die Gleichungen sind: \[ (1) \quad x + y = 20 \] \[ (2) \quad y + z = 30 \] \[ (3) \quad x + z = 40 \] 2. Wir können die Gleichungen so umstellen, dass wir eine der Variablen eliminieren. Zuerst lösen wir die Gleichung (1) nach \(y\) auf: \[ y = 20 - x \] 3. Setze \(y\) in die Gleichung (2) ein: \[ (20 - x) + z = 30 \] \[ z = 30 - 20 + x \] \[ z = 10 + x \] 4. Setze \(z\) in die Gleichung (3) ein: \[ x + (10 + x) = 40 \] \[ 2x + 10 = 40 \] \[ 2x = 30 \] \[ x = 15 \] 5. Jetzt setzen wir \(x\) zurück in die Gleichung für \(y\): \[ y = 20 - 15 = 5 \] 6. Setze \(x\) in die Gleichung für \(z\) ein: \[ z = 10 + 15 = 25 \] Die Lösung des Gleichungssystems ist: \[ x = 15, \quad y = 5, \quad z = 25 \]