System von Gleichungen lösen: Additionsverfahren?

Um das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren zu lösen, folge diesen Schritten:

1. Schreibe die Gleichungen in eine standardisierte Form:
\[
\frac{8}{11}x + \frac{3}{4}y = 14
\]
\[
\frac{6}{11}x - \frac{1}{2}y = 2
\]

2. Multipliziere die Gleichungen so, dass die Koeffizienten von \(y\) gleich werden. Dazu finden wir das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner der \(y\)-Koeffizienten (4 und 2), was 4 ist.

Multipliziere die zweite Gleichung mit 2:
\[
2 \left( \frac{6}{11}x - \frac{1}{2}y \right) = 2 \cdot 2
\]
\[
\frac{12}{11}x - y = 4
\]

3. Nun haben wir das System:
\[
\frac{8}{11}x + \frac{3}{4}y = 14
\]
\[
\frac{12}{11}x - y = 4
\]

4. Multipliziere die erste Gleichung mit 4, um die \(y\)-Koeffizienten gleich zu machen:
\[
4 \left( \frac{8}{11}x + \frac{3}{4}y \right) = 4 \cdot 14
\]
\[
\frac{32}{11}x + 3y = 56
\]

5. Nun haben wir das System:
\[
\frac{32}{11}x + 3y = 56
\]
\[
\frac{12}{11}x - y = 4
\]

6. Multipliziere die zweite Gleichung mit 3, um die \(y\)-Koeffizienten gleich zu machen:
\[
3 \left( \frac{12}{11}x - y \right) = 3 \cdot 4
\]
\[
\frac{36}{11}x - 3y = 12
\]

7. Nun haben wir das System:
\[
\frac{32}{11}x + 3y = 56
\]
\[
\frac{36}{11}x - 3y = 12
\]

8. Addiere die beiden Gleichungen, um \(y\) zu eliminieren:
\[
\left( \frac{32}{11}x + 3y \right) + \left( \frac{36}{11}x - 3y \right) = 56 + 12
\]
\[
\frac{68}{11}x = 68
\]

9. Löse nach \(x\) auf:
\[
x = 1
\]

10. Setze \(x = 1\) in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um \(y\) zu finden. Verwende die zweite Gleichung:
\[
\frac{6}{11}(1) - \frac{1}{2}y = 2
\]
\[
\frac{6}{11} - \frac{1}{2}y = 2
\]
\[
-\frac{1}{2}y = 2 - \frac{6}{11}
\]
\[
-\frac{1}{2}y = \frac{22}{11} - \frac{6}{11}
\]
\[
-\frac{1}{2}y = \frac{16}{11}
\]
\[
y = -\frac{16}{11} \cdot 2
\]
\[
y = -\frac{32}{11}
\]

Das Lösungspaar ist:
\[
x = 1, \quad y = -\frac{32}{11}
\]