Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems 3x+5y=2 und -15x+25y=-19 mit dem Additionsverfahren.

Um die Lösungsmenge des gegebenen Gleichungssystems mit dem Additionsverfahren zu bestimmen, betrachten wir die beiden Gleichungen:

1. \( 3x + 5y = 2 \) (Gleichung 1)
2. \( -15x + 25y = -19 \) (Gleichung 2)

Zuerst können wir die zweite Gleichung so umformen, dass sie einfacher zu handhaben ist. Wir teilen die gesamte Gleichung durch -5:

\[
3x - 5y = 3.8 \quad \text{(Gleichung 2 umgeformt)}
\]

Jetzt haben wir das Gleichungssystem:

1. \( 3x + 5y = 2 \)
2. \( 3x - 5y = 3.8 \)

Nun subtrahieren wir die erste Gleichung von der zweiten:

\[
(3x - 5y) - (3x + 5y) = 3.8 - 2
\]

Das vereinfacht sich zu:

\[
-10y = 1.8
\]

Nun lösen wir nach \( y \) auf:

\[
y = \frac{1.8}{-10} = -0.18
\]

Jetzt setzen wir den Wert von \( y \) in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen ein, um \( x \) zu finden. Wir verwenden die erste Gleichung:

\[
3x + 5(-0.18) = 2
\]

Das vereinfacht sich zu:

\[
3x - 0.9 = 2
\]

Nun addieren wir 0.9 zu beiden Seiten:

\[
3x = 2 + 0.9
\]
\[
3x = 2.9
\]

Jetzt teilen wir durch 3:

\[
x = \frac{2.9}{3} \approx 0.9667
\]

Die Lösungsmenge des Gleichungssystems ist somit:

\[
\left( x, y \right) = \left( \frac{2.9}{3}, -0.18 \right) \quad \text{oder} \quad \left( 0.9667, -0.18 \right)
\]