52 Fragen zu Gleichungssystem

Um diese beiden Gleichungen zu lösen, kannst du das Gleichungssystem verwenden. Hier sind die beiden Gleichungen: 1. \(4x + 5y = 60\) 2. \(2x + 3y = 20\) Eine Methode zur Lösung ist das Additionsverfahren oder das Substitutionsverfahren. Hier ist eine Lösung mit dem Additionsverfahren: 1. Multipliziere die zweite Gleichung mit 2, um die Koeffizienten von \(x\) gleich zu machen: \[ 2(2x + 3y) = 2(20) \implies 4x + 6y = 40 \] Jetzt hast du: \[ 4x + 5y = 60 \] \[ 4x + 6y = 40 \] 2. Subtrahiere die erste Gleichung von der zweiten: \[ (4x + 6y) - (4x + 5y) = 40 - 60 \] \[ 4x + 6y - 4x - 5y = -20 \] \[ y = -20 \] 3. Setze \(y = -20\) in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um \(x\) zu finden. Verwende die erste Gleichung: \[ 4x + 5(-20) = 60 \] \[ 4x - 100 = 60 \] \[ 4x = 160 \] \[ x = 40 \] Die Lösung des Gleichungssystems ist \(x = 40\) und \(y = -20\).

Das Gleichsetzungsverfahren ist eine Methode zur Lösung von linearen Gleichungssystemen. Hier ist eine Schritt-für-Schritt-Anleitung1. **Gleichungen aufstellen**: Gegeben sind zwei Gleichungen in der Form: \[ y = f(x) \] \[ y = g(x) \] 2 **Gleichsetzen**: Setze die beiden Gleichungen gleich: \[ f(x) = g(x) \] 3. **Lösen**: Löse die resultierende Gleichung nach \(x\) auf. 4. **Einsetzen**: Setze den gefundenen Wert von \(x\) in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um den entsprechenden \(y\)-Wert zu finden. **Beispiel:** Gegeben sind die Gleichungen: \[ y = 2x + 3 \] \[ y = -x + 5 \] 1. **Gleichsetzen**: \[ 2x + 3 = -x + 5 \] 2. **Lösen**: \[ 2x + x = 5 - 3 \] \[ 3x = 2 \] \[ x = \frac{2}{3} \] 3. **Einsetzen**: Setze \(x = \frac{2}{3}\) in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, z.B. \(y = 2x + 3\): \[ y = 2 \left(\frac{2}{3}\right) + 3 \] \[ y = \frac{4}{3} + 3 \] \[ y \frac{4}{3} + \frac{9}{3} \] \[ y = \frac{13}{3} \] Die Lösung des Gleichungssystems ist: \[ x = \frac{2}{3}, \quad y = \frac{13}{3} \]

Ein lineares Gleichungssystem liefert nicht immer ein exaktes Ergebnis. Es gibt drei mögliche Szenarien: 1. **Eindeutige Lösung**: Das System hat genau eine Lösung. Dies tritt auf, wenn die Gleichungen unabhängig und konsistent sind. 2. **Unendlich viele Lösungen**: Das System hat unendlich viele Lösungen. Dies passiert, wenn die Gleichungen abhängig sind und das System konsistent ist. 3. **Keine Lösung**: Das System hat keine Lösung. Dies ist der Fall, wenn die Gleichungen widersprüchlich sind. Ob ein lineares Gleichungssystem eine eindeutige Lösung, unendlich viele Lösungen oder keine Lösung hat, hängt von den Koeffizienten der Gleichungen und deren Beziehungen zueinander ab.

Ein Beispiel für ein lineares Gleichungssystem ist: \[ \begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 4x - y = 1 \end{cases} \] Um dieses System zu lösen, kann man verschiedene Methoden anwenden, wie z.B. das Einsetzungsverfahren, das Additionsverfahren oder das Gleichsetzungsverfahren. Hier ist eine kurze Lösung mit dem Additionsverfahren: 1. Multipliziere die zweite Gleichung mit 3, um die Koeffizienten von \( y \) gleich zu machen: \[ \begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 12x - 3y = 3 \end{cases} \] 2. Addiere die beiden Gleichungen: \[ (2x + 3y) + (12x - 3y) = 5 + 3 \] \[ 14x = 8 \] \[ x = \frac{8}{14} = \frac{4}{7} \] 3. Setze \( x = \frac{4}{7} \) in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, z.B. in die erste: \[ 2\left(\frac{4}{7}\right) + 3y = 5 \] \[ \frac{8}{7} + 3y = 5 \] \[ 3y = 5 - \frac{8}{7} \] \[ 3y = \frac{35}{7} - \frac{8}{7} \] \[ 3y = \frac{27}{7} \] \[ y = \frac{27}{21} = \frac{9}{7} \] Die Lösung des Gleichungssystems ist also: \[ x = \frac{4}{7}, \quad y = \frac{9}{7} \]

Um das gegebene Gleichungssystem zu lösen, kann das Verfahren der Substitution oder das Additionsverfahren verwendet werden. Hier wird das Additionsverfahren angewendet: 1. \(0{,}5 \cdot x - 3y = -1\) 2. \(3x - 4y = 8\) Zuerst wird die erste Gleichung so umgeformt, dass die Koeffizienten von \(x\) gleich sind. Multipliziere die erste Gleichung mit 6, um den Koeffizienten von \(x\) auf 3 zu bringen: \[ 6 \cdot (0{,}5 \cdot x - 3y) = 6 \cdot (-1) \] Das ergibt: \[ 3x - 18y = -6 \] Nun hat man das neue Gleichungssystem: 1. \(3x - 18y = -6\) 2. \(3x - 4y = 8\) Subtrahiere die zweite Gleichung von der ersten, um \(x\) zu eliminieren: \[ (3x - 18y) - (3x - 4y) = -6 - 8 \] Das vereinfacht sich zu: \[ -14y = -14 \] Teile beide Seiten durch -14: \[ y = 1 \] Setze \(y = 1\) in die zweite ursprüngliche Gleichung ein, um \(x\) zu finden: \[ 3x - 4 \cdot 1 = 8 \] Das ergibt: \[ 3x - 4 = 8 \] Addiere 4 zu beiden Seiten: \[ 3x = 12 \] Teile beide Seiten durch 3: \[ x = 4 \] Die Lösung des Gleichungssystems ist: \[ x = 4, \quad y = 1 \]

Um das lineare Gleichungssystem zu lösen, muss die Gleichung zunächst vereinfacht werden. Die gegebene Gleichung ist: \[ 0 = 5(-x + 3) + 2y \] Zuerst die Klammer auflösen: \[ 0 = 5(-x) + 5(3) + 2y \] \[ 0 = -5x + 15 + 2y \] Nun die Gleichung nach \( y \) umstellen: \[ -5x + 15 + 2y = 0 \] \[ 2y = 5x - 15 \] \[ y = \frac{5x - 15}{2} \] \[ y = \frac{5}{2}x - \frac{15}{2} \] Die Lösung des Gleichungssystems ist also: \[ y = \frac{5}{2}x - \frac{15}{2} \] Das ist die allgemeine Lösung der gegebenen Gleichung.

Um das lineare Gleichungssystem zu lösen, betrachten wir beiden Gleichungen: 1. \( x - 2y = 4 \) (Gleichung 1) 2. \( y = x - 6 \) (Gleichung 2) Wir setzen Gleichung 2 in Gleichung 1 ein: \( x - 2(x - 6) = 4 \) Das vereinfacht sich zu: \( x - 2x + 12 = 4 \) Das ergibt: \( -x + 12 = 4 \) Nun isolieren wir \( x \): \( -x = 4 - 12 \) \( -x = -8 \) \( x = 8 \) Jetzt setzen wir \( x = 8 \) in Gleichung 2 ein, um \( y \) zu finden: \( y = 8 - 6 \) Das ergibt: \( y = 2 \) Die Lösung des Gleichungssystems ist also: \( x = 8 \) und \( y = 2 \).

Um das gegebene Gleichungssystem zu lösen, kann das Verfahren der Substitution oder das Additionsverfahren verwendet werden. Hier wird das Additionsverfahren angewendet: 1. \( 3x - 9y = 6 \) 2. \( 5x - 7y = 6 \) Zuerst wird die erste Gleichung so umgeformt, dass die Koeffizienten von \( x \) oder \( y \) gleich werden. Hier wird der Koeffizient von \( x \) gleich gemacht: Multipliziere die erste Gleichung mit 5 und die zweite Gleichung mit 3: 1. \( 5(3x - 9y) = 5 \cdot 6 \) 2. \( 3(5x - 7y) = 3 \cdot 6 \) Das ergibt: 1. \( 15x - 45y = 30 \) 2. \( 15x - 21y = 18 \) Nun wird die zweite Gleichung von der ersten subtrahiert: \( (15x - 45y) - (15x - 21y) = 30 - 18 \) Das vereinfacht sich zu: \( -45y + 21y = 12 \) \( -24y = 12 \) Teile beide Seiten durch -24: \( y = -\frac{1}{2} \) Setze \( y = -\frac{1}{2} \) in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um \( x \) zu finden. Verwende die erste Gleichung: \( 3x - 9(-\frac{1}{2}) = 6 \) \( 3x + \frac{9}{2} = 6 \) Multipliziere alles mit 2, um die Brüche zu eliminieren: \( 6x + 9 = 12 \) Subtrahiere 9 von beiden Seiten: \( 6x = 3 \) Teile durch 6: \( x = \frac{1}{2} \) Die Lösung des Gleichungssystems ist: \( x = \frac{1}{2} \) \( y = -\frac{1}{2} \) **Probe:** Setze \( x = \frac{1}{2} \) und \( y = -\frac{1}{2} \) in beide ursprünglichen Gleichungen ein: 1. \( 3(\frac{1}{2}) - 9(-\frac{1}{2}) = 6 \) \( \frac{3}{2} + \frac{9}{2} = 6 \) \( \frac{12}{2} = 6 \) \( 6 = 6 \) (stimmt) 2. \( 5(\frac{1}{2}) - 7(-\frac{1}{2}) = 6 \) \( \frac{5}{2} + \frac{7}{2} = 6 \) \( \frac{12}{2} = 6 \) \( 6 = 6 \) (stimmt) Die Lösung \( x = \frac{1}{2} \) und \( y = -\frac{1}{2} \) ist korrekt.

Um das Alter von Herrn Bauer und seinem Sohn Leo zu ermitteln, kann ein Gleichungssystem aufgestellt werden. Gegeben sind zwei Bedingungen: 1. Herr Bauer und sein Sohn Leo sind zusammen 60 Jahre alt. 2. In 20 Jahren ist Herr Bauer dreimal so alt wie Leo. Bezeichnen wir das aktuelle Alter von Herrn Bauer mit \( B \) und das aktuelle Alter von Leo mit \( L \). Die erste Bedingung lässt sich als Gleichung formulieren: \[ B + L = 60 \] Die zweite Bedingung lässt sich ebenfalls als Gleichung formulieren. In 20 Jahren wird Herr Bauer \( B + 20 \) Jahre alt sein und Leo wird \( L + 20 \) Jahre alt sein. Dann gilt: \[ B + 20 = 3(L + 20) \] Nun haben wir das folgende Gleichungssystem: 1. \( B + L = 60 \) 2. \( B + 20 = 3(L + 20) \) Lösen wir dieses Gleichungssystem: Zuerst die zweite Gleichung umstellen: \[ B + 20 = 3L + 60 \] \[ B = 3L + 40 \] Setzen wir diese Gleichung in die erste Gleichung ein: \[ (3L + 40) + L = 60 \] \[ 4L + 40 = 60 \] \[ 4L = 20 \] \[ L = 5 \] Nun setzen wir \( L = 5 \) in die Gleichung \( B + L = 60 \) ein: \[ B + 5 = 60 \] \[ B = 55 \] Also ist Herr Bauer 55 Jahre alt und Leo ist 5 Jahre alt.

Um ein Gleichungssystem durch das Zeichnen von Graphen zu lösen, folge diesenritten: 1. **Gleichungen in die Form y = mx + b bringen**: Stelle sicher, dass jede Gleichung in der Form \( y = mx + b \) vorliegt, wobei \( m \) die Steigung und \( b \) der y-Achsenabschnitt ist. 2. **Graphen zeichnen**: Zeichne die Graphen der einzelnen Gleichungen in ein Koordinatensystem. Verwende dazu die Steigung \( m \) und den y-Achsenabschnitt \( b \). 3. **Schnittpunkt finden**: Bestimme den Punkt, an dem sich die Graphen schneiden. Dieser Punkt ist die Lösung des Gleichungssystems, da er die x- und y-Werte enthält, die beide Gleichungen erfüllen. 4. **Lösung überprüfen**: Setze die Koordinaten des Schnittpunkts in die ursprünglichen Gleichungen ein, um sicherzustellen, dass sie beide Gleichungen erfüllen. Beispiel: Gegeben sei das Gleichungssystem: 1. \( y = 2x + 3 \) 2. \( y = -x + 1 \) 1. Beide Gleichungen sind bereits in der Form \( y = mx + b \). 2. Zeichne die erste Gleichung \( y = 2x + 3 \): - Der y-Achsenabschnitt ist 3 (Punkt (0, 3)). - Die Steigung ist 2 (von (0, 3) gehe 1 Einheit nach rechts und 2 Einheiten nach oben). Zeichne die zweite Gleichung \( y = -x + 1 \): - Der y-Achsenabschnitt ist 1 (Punkt (0, 1)). - Die Steigung ist -1 (von (0, 1) gehe 1 Einheit nach rechts und 1 Einheit nach unten). 3. Finde den Schnittpunkt der beiden Graphen. In diesem Fall schneiden sie sich bei \( x = -2 \) und \( y = -1 \). 4. Überprüfe die Lösung: - Setze \( x = -2 \) und \( y = -1 \) in die erste Gleichung ein: \( -1 = 2(-2) + 3 \) → \( -1 = -4 + 3 \) → \( -1 = -1 \) (stimmt). - Setze \( x = -2 \) und \( y = -1 \) in die zweite Gleichung ein: \( -1 = -(-2) + 1 \) → \( -1 = 2 + 1 \) → \( -1 = -1 \) (stimmt). Die Lösung des Gleichungssystems ist also \( x = -2 \) und \( y = -1 \).

Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen, das die Punkte (4|2) und (2|-4) als Lösungen hat, kann wie folgt aussehen: 1. \( a \cdot 4 + b \cdot 2 = c \) 2. \( a \cdot 2 + b \cdot (-4) = d \) Um die Koeffizienten \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) zu bestimmen, können wir die Punkte in die Gleichungen einsetzen: Für den Punkt (4|2): 1. \( 4a + 2b = c \) Für den Punkt (2|-4): 2. \( 2a - 4b = d \) Eine mögliche Lösung für \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) ist: 1. \( 4a + 2b = 12 \) 2. \( 2a - 4b = -20 \) Diese Gleichungen können durch einfaches Probieren oder durch Lösen eines Systems gefunden werden. Hier ist ein Beispiel: 1. \( 2x + y = 10 \) 2. \( x - 2y = -10 \) Überprüfen wir die Lösungen: Für (4|2): 1. \( 2 \cdot 4 + 1 \cdot 2 = 8 + 2 = 10 \) 2. \( 4 - 2 \cdot 2 = 4 - 4 = 0 \) Für (2|-4): 1. \( 2 \cdot 2 + 1 \cdot (-4) = 4 - 4 = 0 \) 2. \( 2 - 2 \cdot (-4) = 2 + 8 = 10 \) Die Gleichungen sind korrekt und die Punkte (4|2) und (2|-4) sind Lösungen des Systems.

Um ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen zu erstellen, das die Punkte (4|2) und (2|-4) als Lösungen hat, können die Gleichungen wie folgt aussehen: 1. \( ax + by = c \) 2. \( dx + ey = f \) Setze die Punkte (4|2) und (2|-4) in die Gleichungen ein: Für den Punkt (4|2): \[ 4a + 2b = c \] \[ 4d + 2e = f \] Für den Punkt (2|-4): \[ 2a - 4b = c \] \[ 2d - 4e = f \] Nun wähle Werte für \(a\), \(b\), \(d\) und \(e\), um die Gleichungen zu bestimmen. Eine mögliche Wahl ist: Setze \(a = 1\), \(b = 1\), \(d = 1\) und \(e = -1\): 1. Gleichung: \[ 4(1) + 2(1) = c \] \[ 4 + 2 = c \] \[ c = 6 \] 2. Gleichung: \[ 2(1) - 4(1) = c \] \[ 2 - 4 = c \] \[ c = -2 \] Für die zweite Gleichung: \[ 4(1) + 2(-1) = f \] \[ 4 - 2 = f \] \[ f = 2 \] \[ 2(1) - 4(-1) = f \] \[ 2 + 4 = f \] \[ f = 6 \] Die beiden Gleichungen sind also: \[ x + y = 6 \] \[ x - y = 2 \] Das lineare Gleichungssystem lautet: \[ \begin{cases} x + y = 6 \\ x - y = 2 \end{cases} \] Dieses System hat die Punkte (4|2) und (2|-4) als Lösungen.

Das Einsetzungsverfahren ist eine Methode zur Lösung von linearen Gleichungssystemen. Hier ist eine Schritt-für-Schritt-Anleitung Lösung des gegebenen Systems: 1. **Gleich aufschreiben:** \[ 7x - 11 = 1 \quad \text{(leichung 1)} \] \ 14x 20y = \quad \text{(Gleichung 2)} ] 2. **Eine Gleichungen nach einer Variablen auflösen.** Hier wird Gleichung 1 \(x\) aufgelöst: [ 7x = 11y + 1 \] \[ x = \frac{11y + 1}{7} \] 3. **Den Ausdruck für \(x\) in die andere Gleichung einsetzen.** Setze \(x = \frac{11y + 1}{7}\) in Gleichung 2 ein: \[ 14\left(\frac{11y + 1}{7}\right) - 20y = 12 \] \[ 2(11y + 1) - 20y = 12 \] \[ 22y + 2 - 20y = 12 \] \[ 2y + 2 = 12 \] \[ 2y = 10 \] \[ y = 5 \] 4. **Den Wert von \(y\) in die umgestellte Gleichung einsetzen, umx\) zu finden:** \[ x = \frac11(5) + 1}{7} \] \[ x = \frac{55 + 1}{7} \] \[ x = \frac{56}{7} \] \[ x = 8 \] 5. **Lösung des Gleichungssystems:** \[ x = 8, \quad y = 5 \] Die Lösung des Gleichungssystems ist also \(x = 8\) und \(y = 5\).

Um das lineare Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren zu lösen, folge diesen Schritten: 1. Schreibe die beiden Gleichungen auf: \[ \begin{cases} x + 2y = 4 \quad \text{(1)} \\ x - 4y = 5 \quad \text{(2)} \end{cases} \] 2. Stelle beide Gleichungen nach \( x \) um: \[ x = 4 - 2y \quad \text{(aus Gleichung 1)} \] \[ x = 5 + 4y \quad \text{(aus Gleichung 2)} \] 3. Setze die beiden Ausdrücke für \( x \) gleich: \[ 4 - 2y = 5 + 4y \] 4. Löse die Gleichung nach \( y \) auf: \[ 4 - 5 = 4y + 2y \] \[ -1 = 6y \] \[ y = -\frac{1}{6} \] 5. Setze den Wert von \( y \) in eine der umgestellten Gleichungen ein, um \( x \) zu finden. Verwende \( x = 4 - 2y \): \[ x = 4 - 2\left(-\frac{1}{6}\right) \] \[ x = 4 + \frac{2}{6} \] \[ x = 4 + \frac{1}{3} \] \[ x = \frac{12}{3} + \frac{1}{3} \] \[ x = \frac{13}{3} \] Das Lösungspaar für das Gleichungssystem ist: \[ \left( \frac{13}{3}, -\frac{1}{6} \right) \]

Um das Gleichungssystem zu lösen, müssen die beiden Gleichungen in eine Form gebracht werden, die die Lösung erleichtert. Hier sind die beiden Gleichungen: 1. \(\frac{1}{2} + \frac{21}{4}y = -\frac{3}{2}\) 2. \(\frac{1}{3}x - 3,5y = 1\) Zuerst wird die erste Gleichung vereinfacht: \[ \frac{1}{2} + \frac{21}{4}y = -\frac{3}{2} \] Subtrahiere \(\frac{1}{2}\) von beiden Seiten: \[ \frac{21}{4}y = -\frac{3}{2} - \frac{1}{2} \] \[ \frac{21}{4}y = -\frac{4}{2} \] \[ \frac{21}{4}y = -2 \] Multipliziere beide Seiten mit \(\frac{4}{21}\), um \(y\) zu isolieren: \[ y = -2 \cdot \frac{4}{21} \] \[ y = -\frac{8}{21} \] Nun zur zweiten Gleichung: \[ \frac{1}{3}x - 3,5y = 1 \] Setze \(y = -\frac{8}{21}\) in die zweite Gleichung ein: \[ \frac{1}{3}x - 3,5 \left(-\frac{8}{21}\right) = 1 \] \[ \frac{1}{3}x + 3,5 \cdot \frac{8}{21} = 1 \] \[ \frac{1}{3}x + \frac{28}{21} = 1 \] \[ \frac{1}{3}x + \frac{4}{3} = 1 \] Subtrahiere \(\frac{4}{3}\) von beiden Seiten: \[ \frac{1}{3}x = 1 - \frac{4}{3} \] \[ \frac{1}{3}x = \frac{3}{3} - \frac{4}{3} \] \[ \frac{1}{3}x = -\frac{1}{3} \] Multipliziere beide Seiten mit 3, um \(x\) zu isolieren: \[ x = -1 \] Die Lösung des Gleichungssystems ist: \[ x = -1, \quad y = -\frac{8}{21} \]