Wie löse ich ein Gleichungssystem durch Zeichnen von Graphen?

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Wie löse ich ein Gleichungssystem durch Zeichnen von Graphen?

Antwort

Verwandte Fragen

Gleichungen lösen?

Löse die Klammern auf: (q+19)(q-19)

Löse die Gleichung: 14x + (15x - 23) = (19 + 25x) + (34x + 18)

Löse die Gleichung 2(x-3)=14.

Wie löst man die gegebene Matrix?

Bestimme grafisch die Lösung des Gleichungssystems y=-2x-5 und y=3x+5.

Accepted Answer

Um ein Gleichungssystem durch das Zeichnen von Graphen zu lösen, folge diesenritten: 1. **Gleichungen in die Form y = mx + b bringen**: Stelle sicher, dass jede Gleichung in der Form \( y = mx + b \) vorliegt, wobei \( m \) die Steigung und \( b \) der y-Achsenabschnitt ist. 2. **Graphen zeichnen**: Zeichne die Graphen der einzelnen Gleichungen in ein Koordinatensystem. Verwende dazu die Steigung \( m \) und den y-Achsenabschnitt \( b \). 3. **Schnittpunkt finden**: Bestimme den Punkt, an dem sich die Graphen schneiden. Dieser Punkt ist die Lösung des Gleichungssystems, da er die x- und y-Werte enthält, die beide Gleichungen erfüllen. 4. **Lösung überprüfen**: Setze die Koordinaten des Schnittpunkts in die ursprünglichen Gleichungen ein, um sicherzustellen, dass sie beide Gleichungen erfüllen. Beispiel: Gegeben sei das Gleichungssystem: 1. \( y = 2x + 3 \) 2. \( y = -x + 1 \) 1. Beide Gleichungen sind bereits in der Form \( y = mx + b \). 2. Zeichne die erste Gleichung \( y = 2x + 3 \): - Der y-Achsenabschnitt ist 3 (Punkt (0, 3)). - Die Steigung ist 2 (von (0, 3) gehe 1 Einheit nach rechts und 2 Einheiten nach oben). Zeichne die zweite Gleichung \( y = -x + 1 \): - Der y-Achsenabschnitt ist 1 (Punkt (0, 1)). - Die Steigung ist -1 (von (0, 1) gehe 1 Einheit nach rechts und 1 Einheit nach unten). 3. Finde den Schnittpunkt der beiden Graphen. In diesem Fall schneiden sie sich bei \( x = -2 \) und \( y = -1 \). 4. Überprüfe die Lösung: - Setze \( x = -2 \) und \( y = -1 \) in die erste Gleichung ein: \( -1 = 2(-2) + 3 \) → \( -1 = -4 + 3 \) → \( -1 = -1 \) (stimmt). - Setze \( x = -2 \) und \( y = -1 \) in die zweite Gleichung ein: \( -1 = -(-2) + 1 \) → \( -1 = 2 + 1 \) → \( -1 = -1 \) (stimmt). Die Lösung des Gleichungssystems ist also \( x = -2 \) und \( y = -1 \).

Accepted Answer

Um Gleichungen zu lösen, musst du die Gleichung so umformen, dass die Unbekannte isoliert auf einer Seite steht. Hier sind die grundlegenden Schritte: 1. **Gleichung aufstellen**: Schreibe die G... [mehr]

Accepted Answer

Um Gleichungen zu lösen, musst du die Gleichung so umformen, dass die Unbekannte isoliert auf einer Seite steht. Hier sind die grundlegenden Schritte: 1. **Gleichung aufstellen**: Schreibe die Gleichung auf, die du lösen möchtest. 2. **Terme zusammenfassen**: Fasse ähnliche Terme auf einer Seite der Gleichung zusammen. 3. **Unbekannte isolieren**: Verwende algebraische Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division), um die Unbekannte zu isolieren. 4. **Überprüfen**: Setze die gefundene Lösung in die ursprüngliche Gleichung ein, um zu überprüfen, ob sie korrekt ist. Wenn du ein konkretes Beispiel hast, kann ich dir gerne die Schritte zur Lösung zeigen.

Accepted Answer

Um die Klammern aufzulösen, kannst du die Formel für die Differenz der Quadrate verwenden: \[ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \] In deinem Fall ist \(a = q\) und \(b = 19\). Das ergibt: \[... [mehr]

Accepted Answer

Um die Klammern aufzulösen, kannst du die Formel für die Differenz der Quadrate verwenden: \[ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \] In deinem Fall ist \(a = q\) und \(b = 19\). Das ergibt: \[ (q + 19)(q - 19) = q^2 - 19^2 \] Nun berechnen wir \(19^2\): \[ 19^2 = 361 \] Somit lautet das Ergebnis: \[ q^2 - 361 \]

Accepted Answer

Um die Gleichung \(14x + (15x - 23) = (19 + 25x) + (34x + 18)\) zu lösen, folge diesen Schritten: 1. Vereinfache beide Seiten der Gleichung. Linke Seite: \[ 14x + 15x - 23 = 29x - 23 \] Rechte... [mehr]

Accepted Answer

Um die Gleichung \(14x + (15x - 23) = (19 + 25x) + (34x + 18)\) zu lösen, folge diesen Schritten: 1. Vereinfache beide Seiten der Gleichung. Linke Seite: \[ 14x + 15x - 23 = 29x - 23 \] Rechte Seite: \[ 19 + 25x + 34x + 18 = 19 + 18 + 25x + 34x = 37 + 59x \] 2. Setze die vereinfachten Ausdrücke gleich: \[ 29x - 23 = 37 + 59x \] 3. Bringe alle \(x\)-Terme auf eine Seite und die konstanten Terme auf die andere Seite: \[ 29x - 59x = 37 + 23 \] \[ -30x = 60 \] 4. Teile durch \(-30\): \[ x = \frac{60}{-30} = -2 \] Die Lösung der Gleichung ist \(x = -2\).

Accepted Answer

Um die Gleichung \(2(x-3) = 14\) zu lösen, folge diesen Schritten: 1. Teile beide Seiten der Gleichung durch 2: \[ x - 3 = 7 \] 2. Addiere 3 zu beiden Seiten: \[ x = 7 + 3 \]... [mehr]

Accepted Answer

Um die Gleichung \(2(x-3) = 14\) zu lösen, folge diesen Schritten: 1. Teile beide Seiten der Gleichung durch 2: \[ x - 3 = 7 \] 2. Addiere 3 zu beiden Seiten: \[ x = 7 + 3 \] \[ x = 10 \] Die Lösung der Gleichung ist \(x = 10\).

Accepted Answer

Um das gegebene lineare Gleichungssystem zu lösen, können wir die erweiterte Matrix in Zeilenstufenform bringen. Die Matrix lautet: \[ \begin{pmatrix} 9 & 6 & -12 & 6 & | &a... [mehr]

Accepted Answer

Um das gegebene lineare Gleichungssystem zu lösen, können wir die erweiterte Matrix in Zeilenstufenform bringen. Die Matrix lautet: \[ \begin{pmatrix} 9 & 6 & -12 & 6 & | & 0 \\ 6 & 4 & -8 & 2 & | & 0 \\ 0 &2 & 4 6 & | 0 \\ -3 & 4 & 7 & 18 & | & 0 \end{pmatrix} \] Wir führen die folgenden Schritte durch: 1. **Zeilenoperationen durchführen**: Wir versuchen, die Matrix in eine einfachere Form zu bringen. Zuerst teilen wir die erste Zeile durch 3, um die Berechnungen zu erleichtern: \[ \begin{pmatrix} 3 & 2 & -4 & 2 & | & 0 \\ 6 & 4 & -8 & 2 & | & 0 \\ 0 & 2 & 4 & 6 & | & 0 \\ -3 & 4 & 7 & 18 & | & 0 \end{pmatrix} \] 2. **Subtrahiere Vielfache der ersten Zeile von den anderen Zeilen**: - Zeile 2: \( Z_2 - 2 \cdot Z_1 \) - Zeile 4: \( Z_4 + Z_1 \) Das ergibt: \[ \begin{pmatrix} 3 & 2 & -4 & 2 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & | & 0 \\ 0 & 2 & 4 & 6 & | & 0 \\ 0 & 6 & 3 & 20 & | & 0 \end{pmatrix} \] 3. **Die zweite Zeile ist jetzt \(0 = 0\)**, was bedeutet, dass sie keine neue Information liefert. Wir können uns auf die anderen Zeilen konzentrieren. 4. **Jetzt arbeiten wir mit den Zeilen 3 und 4**. Wir teilen die dritte Zeile durch 2: \[ \begin{pmatrix} 3 & 2 & -4 & 2 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & | & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & | & 0 \\ 0 & 6 & 3 & 20 & | & 0 \end{pmatrix} \] 5. **Subtrahiere 6-mal die dritte Zeile von der vierten Zeile**: \[ Z_4 - 6 \cdot Z_3 \] Das ergibt: \[ \begin{pmatrix} 3 & 2 & -4 & 2 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & | & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & | & 0 \\ 0 & 0 & -9 & 2 & | & 0 \end{pmatrix} \] 6. **Nun bringen wir die Matrix in die reduzierte Zeilenstufenform**. Wir können die vierte Zeile durch -1/9 teilen: \[ \begin{pmatrix} 3 & 2 & -4 & 2 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & | & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2/9 & | & 0 \end{pmatrix} \] 7. **Jetzt können wir die Rücksubstitution durchführen**. Wir setzen die Variablen in Bezug auf die freien Variablen ein. Die letzte Zeile gibt uns: \[ z = \frac{2}{9}y \] Die dritte Zeile gibt uns: \[ y + 2z + 3w = 0 \implies y + 2\left(\frac{2}{9}y\right) + 3w = 0 \implies y\left(1 + \frac{4}{9}\right) + 3w = 0 \implies \frac{13}{9}y + 3w = 0 \] Das bedeutet: \[ y = -\frac{27}{13}w \] Setzen wir \(y\) in die Gleichung für \(z\) ein: \[ z = \frac{2}{9}\left(-\frac{27}{13}w\right) = -\frac{6

Accepted Answer

Um die Lösung des Gleichungssystems grafisch bestimmen, kannst du die beiden Gleichungen in ein Koordinatensystem einzeichnen. 1. **Gleichung 1: \( y = -2x - 5 \)** - Diese Gleichung hat eine... [mehr]

Accepted Answer

Um die Lösung des Gleichungssystems grafisch bestimmen, kannst du die beiden Gleichungen in ein Koordinatensystem einzeichnen. 1. **Gleichung 1: \( y = -2x - 5 \)** - Diese Gleichung hat eine negative Steigung von -2 und einen y-Achsenabschnitt bei -5. Du kannst zwei Punkte finden, um die Gerade zu zeichnen: - Wenn \( x = 0 \): \( y = -5 \) (Punkt: (0, -5)) - Wenn \( x = 1 \): \( y = -2(1) - 5 = -7 \) (Punkt: (1, -7)) 2. **Gleichung 2: \( y = 3x + 5 \)** - Diese Gleichung hat eine positive Steigung von 3 und einen y-Achsenabschnitt bei 5. Auch hier kannst du zwei Punkte finden: - Wenn \( x = 0 \): \( y = 5 \) (Punkt: (0, 5)) - Wenn \( x = 1 \): \( y = 3(1) + 5 = 8 \) (Punkt: (1, 8)) Nachdem du beide Geraden in das Koordinatensystem eingezeichnet hast, suchst du den Schnittpunkt der beiden Linien. Dieser Punkt ist die Lösung des Gleichungssystems. Um den Schnittpunkt algebraisch zu finden, setzt du die beiden Gleichungen gleich: \[ -2x - 5 = 3x + 5 \] Löse die Gleichung: \[ -2x - 3x = 5 + 5 \] \[ -5x = 10 \] \[ x = -2 \] Setze \( x = -2 \) in eine der beiden Gleichungen ein, um \( y \) zu finden: \[ y = 3(-2) + 5 = -6 + 5 = -1 \] Der Schnittpunkt und somit die Lösung des Gleichungssystems ist \( (-2, -1) \).