lineares Gleichungssystem Beispiel

Ein Beispiel für ein lineares Gleichungssystem ist:

\[
\begin{cases}
2x + 3y = 5 \\
4x - y = 1
\end{cases}
\]

Um dieses System zu lösen, kann man verschiedene Methoden anwenden, wie z.B. das Einsetzungsverfahren, das Additionsverfahren oder das Gleichsetzungsverfahren. Hier ist eine kurze Lösung mit dem Additionsverfahren:

1. Multipliziere die zweite Gleichung mit 3, um die Koeffizienten von \( y \) gleich zu machen:

\[
\begin{cases}
2x + 3y = 5 \\
12x - 3y = 3
\end{cases}
\]

2. Addiere die beiden Gleichungen:

\[
(2x + 3y) + (12x - 3y) = 5 + 3
\]

\[
14x = 8
\]

\[
x = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}
\]

3. Setze \( x = \frac{4}{7} \) in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, z.B. in die erste:

\[
2\left(\frac{4}{7}\right) + 3y = 5
\]

\[
\frac{8}{7} + 3y = 5
\]

\[
3y = 5 - \frac{8}{7}
\]

\[
3y = \frac{35}{7} - \frac{8}{7}
\]

\[
3y = \frac{27}{7}
\]

\[
y = \frac{27}{21} = \frac{9}{7}
\]

Die Lösung des Gleichungssystems ist also:

\[
x = \frac{4}{7}, \quad y = \frac{9}{7}
\]