lineares Gleichungssystem Beispiel

Question

lineares Gleichungssystem Beispiel

Antwort

Verwandte Fragen

Erkläre die Divergenz an einem Beispiel.

Wie löst man die gegebene Matrix?

Bestimme grafisch die Lösung des Gleichungssystems y=-2x-5 und y=3x+5.

Accepted Answer

Ein Beispiel für ein lineares Gleichungssystem ist: \[ \begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 4x - y = 1 \end{cases} \] Um dieses System zu lösen, kann man verschiedene Methoden anwenden, wie z.B. das Einsetzungsverfahren, das Additionsverfahren oder das Gleichsetzungsverfahren. Hier ist eine kurze Lösung mit dem Additionsverfahren: 1. Multipliziere die zweite Gleichung mit 3, um die Koeffizienten von \( y \) gleich zu machen: \[ \begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 12x - 3y = 3 \end{cases} \] 2. Addiere die beiden Gleichungen: \[ (2x + 3y) + (12x - 3y) = 5 + 3 \] \[ 14x = 8 \] \[ x = \frac{8}{14} = \frac{4}{7} \] 3. Setze \( x = \frac{4}{7} \) in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, z.B. in die erste: \[ 2\left(\frac{4}{7}\right) + 3y = 5 \] \[ \frac{8}{7} + 3y = 5 \] \[ 3y = 5 - \frac{8}{7} \] \[ 3y = \frac{35}{7} - \frac{8}{7} \] \[ 3y = \frac{27}{7} \] \[ y = \frac{27}{21} = \frac{9}{7} \] Die Lösung des Gleichungssystems ist also: \[ x = \frac{4}{7}, \quad y = \frac{9}{7} \]

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Divergenz ist ein Konzept aus der Vektoranalysis, das beschreibt, wie viel eine Vektorfeldquelle oder -senke einem bestimmten Punkt hat. Ein einfaches Beispiel ist das Verhalten von Wasser in einem Wa... [mehr]

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Divergenz ist ein Konzept aus der Vektoranalysis, das beschreibt, wie viel eine Vektorfeldquelle oder -senke einem bestimmten Punkt hat. Ein einfaches Beispiel ist das Verhalten von Wasser in einem Wasserstrahl. Stell dir vor, du hast einen Wasserstrahl, der aus einem Schlauch kommt. An jedem Punkt im Raum um den Wasserstrahl herum kannst du messen, wie viel Wasser in diesen Punkt hinein- oder herausfließt. - Wenn mehr Wasser aus einem Punkt herausfließt als hineinfließt, hat dieser Punkt eine positive Divergenz. Das bedeutet, dass es dort eine Quelle gibt. - Wenn mehr Wasser in einen Punkt hineinfließt als herausfließt, hat dieser Punkt eine negative Divergenz. Das bedeutet, dass es dort eine Senke gibt. - Wenn die Menge an Wasser, die hinein- und herausfließt, gleich ist, ist die Divergenz null. Mathematisch wird die Divergenz eines Vektorfeldes \(\mathbf{F} = (F_1, F_2, F_3)\) in drei Dimensionen durch die Formel \(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z}\) definiert. Hierbei steht \(\nabla \cdot\) für den Divergenzoperator. Dieses Konzept findet Anwendung in verschiedenen Bereichen, wie der Fluiddynamik, Elektrodynamik und vielen anderen physikalischen Disziplinen.

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Um das gegebene lineare Gleichungssystem zu lösen, können wir die erweiterte Matrix in Zeilenstufenform bringen. Die Matrix lautet: \[ \begin{pmatrix} 9 & 6 & -12 & 6 & | &a... [mehr]

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Um das gegebene lineare Gleichungssystem zu lösen, können wir die erweiterte Matrix in Zeilenstufenform bringen. Die Matrix lautet: \[ \begin{pmatrix} 9 & 6 & -12 & 6 & | & 0 \\ 6 & 4 & -8 & 2 & | & 0 \\ 0 &2 & 4 6 & | 0 \\ -3 & 4 & 7 & 18 & | & 0 \end{pmatrix} \] Wir führen die folgenden Schritte durch: 1. **Zeilenoperationen durchführen**: Wir versuchen, die Matrix in eine einfachere Form zu bringen. Zuerst teilen wir die erste Zeile durch 3, um die Berechnungen zu erleichtern: \[ \begin{pmatrix} 3 & 2 & -4 & 2 & | & 0 \\ 6 & 4 & -8 & 2 & | & 0 \\ 0 & 2 & 4 & 6 & | & 0 \\ -3 & 4 & 7 & 18 & | & 0 \end{pmatrix} \] 2. **Subtrahiere Vielfache der ersten Zeile von den anderen Zeilen**: - Zeile 2: \( Z_2 - 2 \cdot Z_1 \) - Zeile 4: \( Z_4 + Z_1 \) Das ergibt: \[ \begin{pmatrix} 3 & 2 & -4 & 2 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & | & 0 \\ 0 & 2 & 4 & 6 & | & 0 \\ 0 & 6 & 3 & 20 & | & 0 \end{pmatrix} \] 3. **Die zweite Zeile ist jetzt \(0 = 0\)**, was bedeutet, dass sie keine neue Information liefert. Wir können uns auf die anderen Zeilen konzentrieren. 4. **Jetzt arbeiten wir mit den Zeilen 3 und 4**. Wir teilen die dritte Zeile durch 2: \[ \begin{pmatrix} 3 & 2 & -4 & 2 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & | & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & | & 0 \\ 0 & 6 & 3 & 20 & | & 0 \end{pmatrix} \] 5. **Subtrahiere 6-mal die dritte Zeile von der vierten Zeile**: \[ Z_4 - 6 \cdot Z_3 \] Das ergibt: \[ \begin{pmatrix} 3 & 2 & -4 & 2 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & | & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & | & 0 \\ 0 & 0 & -9 & 2 & | & 0 \end{pmatrix} \] 6. **Nun bringen wir die Matrix in die reduzierte Zeilenstufenform**. Wir können die vierte Zeile durch -1/9 teilen: \[ \begin{pmatrix} 3 & 2 & -4 & 2 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & | & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2/9 & | & 0 \end{pmatrix} \] 7. **Jetzt können wir die Rücksubstitution durchführen**. Wir setzen die Variablen in Bezug auf die freien Variablen ein. Die letzte Zeile gibt uns: \[ z = \frac{2}{9}y \] Die dritte Zeile gibt uns: \[ y + 2z + 3w = 0 \implies y + 2\left(\frac{2}{9}y\right) + 3w = 0 \implies y\left(1 + \frac{4}{9}\right) + 3w = 0 \implies \frac{13}{9}y + 3w = 0 \] Das bedeutet: \[ y = -\frac{27}{13}w \] Setzen wir \(y\) in die Gleichung für \(z\) ein: \[ z = \frac{2}{9}\left(-\frac{27}{13}w\right) = -\frac{6

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Um die Lösung des Gleichungssystems grafisch bestimmen, kannst du die beiden Gleichungen in ein Koordinatensystem einzeichnen. 1. **Gleichung 1: \( y = -2x - 5 \)** - Diese Gleichung hat eine... [mehr]

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Um die Lösung des Gleichungssystems grafisch bestimmen, kannst du die beiden Gleichungen in ein Koordinatensystem einzeichnen. 1. **Gleichung 1: \( y = -2x - 5 \)** - Diese Gleichung hat eine negative Steigung von -2 und einen y-Achsenabschnitt bei -5. Du kannst zwei Punkte finden, um die Gerade zu zeichnen: - Wenn \( x = 0 \): \( y = -5 \) (Punkt: (0, -5)) - Wenn \( x = 1 \): \( y = -2(1) - 5 = -7 \) (Punkt: (1, -7)) 2. **Gleichung 2: \( y = 3x + 5 \)** - Diese Gleichung hat eine positive Steigung von 3 und einen y-Achsenabschnitt bei 5. Auch hier kannst du zwei Punkte finden: - Wenn \( x = 0 \): \( y = 5 \) (Punkt: (0, 5)) - Wenn \( x = 1 \): \( y = 3(1) + 5 = 8 \) (Punkt: (1, 8)) Nachdem du beide Geraden in das Koordinatensystem eingezeichnet hast, suchst du den Schnittpunkt der beiden Linien. Dieser Punkt ist die Lösung des Gleichungssystems. Um den Schnittpunkt algebraisch zu finden, setzt du die beiden Gleichungen gleich: \[ -2x - 5 = 3x + 5 \] Löse die Gleichung: \[ -2x - 3x = 5 + 5 \] \[ -5x = 10 \] \[ x = -2 \] Setze \( x = -2 \) in eine der beiden Gleichungen ein, um \( y \) zu finden: \[ y = 3(-2) + 5 = -6 + 5 = -1 \] Der Schnittpunkt und somit die Lösung des Gleichungssystems ist \( (-2, -1) \).