Wie löse ich das Gleichungssystem: 1. 4x + 5y = 60, 2. 2x + 3y = 20?

Question

Wie löse ich das Gleichungssystem: 1. 4x + 5y = 60, 2. 2x + 3y = 20?

Antwort

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Löse die Gleichung 7 + 3x = 8 + (8x - 6) und gib die Lösungsmenge an.

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Bestimme grafisch die Lösung des Gleichungssystems y=-2x-5 und y=3x+5.

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Accepted Answer

Um diese beiden Gleichungen zu lösen, kannst du das Gleichungssystem verwenden. Hier sind die beiden Gleichungen: 1. \(4x + 5y = 60\) 2. \(2x + 3y = 20\) Eine Methode zur Lösung ist das Additionsverfahren oder das Substitutionsverfahren. Hier ist eine Lösung mit dem Additionsverfahren: 1. Multipliziere die zweite Gleichung mit 2, um die Koeffizienten von \(x\) gleich zu machen: \[ 2(2x + 3y) = 2(20) \implies 4x + 6y = 40 \] Jetzt hast du: \[ 4x + 5y = 60 \] \[ 4x + 6y = 40 \] 2. Subtrahiere die erste Gleichung von der zweiten: \[ (4x + 6y) - (4x + 5y) = 40 - 60 \] \[ 4x + 6y - 4x - 5y = -20 \] \[ y = -20 \] 3. Setze \(y = -20\) in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um \(x\) zu finden. Verwende die erste Gleichung: \[ 4x + 5(-20) = 60 \] \[ 4x - 100 = 60 \] \[ 4x = 160 \] \[ x = 40 \] Die Lösung des Gleichungssystems ist \(x = 40\) und \(y = -20\).

Accepted Answer

Um die Gleichung \(7 + 3x = 8 + (8x - 6)\) zu lösen, folge diesen Schritten: 1. Vereinfache die rechte Seite der Gleichung: \[ 7 + 3x = 8 + 8x - 6 \] \[ 7 + 3x = 2 + 8x \] 2.... [mehr]

Accepted Answer

Um die Gleichung \(7 + 3x = 8 + (8x - 6)\) zu lösen, folge diesen Schritten: 1. Vereinfache die rechte Seite der Gleichung: \[ 7 + 3x = 8 + 8x - 6 \] \[ 7 + 3x = 2 + 8x \] 2. Bringe alle \(x\)-Terme auf eine Seite und die konstanten Terme auf die andere Seite: \[ 7 - 2 = 8x - 3x \] \[ 5 = 5x \] 3. Teile beide Seiten durch 5: \[ x = 1 \] Die Lösungsmenge ist somit: \[ \{1\} \]

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Um das gegebene lineare Gleichungssystem zu lösen, können wir die erweiterte Matrix in Zeilenstufenform bringen. Die Matrix lautet: \[ \begin{pmatrix} 9 & 6 & -12 & 6 & | &a... [mehr]

Accepted Answer

Um das gegebene lineare Gleichungssystem zu lösen, können wir die erweiterte Matrix in Zeilenstufenform bringen. Die Matrix lautet: \[ \begin{pmatrix} 9 & 6 & -12 & 6 & | & 0 \\ 6 & 4 & -8 & 2 & | & 0 \\ 0 &2 & 4 6 & | 0 \\ -3 & 4 & 7 & 18 & | & 0 \end{pmatrix} \] Wir führen die folgenden Schritte durch: 1. **Zeilenoperationen durchführen**: Wir versuchen, die Matrix in eine einfachere Form zu bringen. Zuerst teilen wir die erste Zeile durch 3, um die Berechnungen zu erleichtern: \[ \begin{pmatrix} 3 & 2 & -4 & 2 & | & 0 \\ 6 & 4 & -8 & 2 & | & 0 \\ 0 & 2 & 4 & 6 & | & 0 \\ -3 & 4 & 7 & 18 & | & 0 \end{pmatrix} \] 2. **Subtrahiere Vielfache der ersten Zeile von den anderen Zeilen**: - Zeile 2: \( Z_2 - 2 \cdot Z_1 \) - Zeile 4: \( Z_4 + Z_1 \) Das ergibt: \[ \begin{pmatrix} 3 & 2 & -4 & 2 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & | & 0 \\ 0 & 2 & 4 & 6 & | & 0 \\ 0 & 6 & 3 & 20 & | & 0 \end{pmatrix} \] 3. **Die zweite Zeile ist jetzt \(0 = 0\)**, was bedeutet, dass sie keine neue Information liefert. Wir können uns auf die anderen Zeilen konzentrieren. 4. **Jetzt arbeiten wir mit den Zeilen 3 und 4**. Wir teilen die dritte Zeile durch 2: \[ \begin{pmatrix} 3 & 2 & -4 & 2 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & | & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & | & 0 \\ 0 & 6 & 3 & 20 & | & 0 \end{pmatrix} \] 5. **Subtrahiere 6-mal die dritte Zeile von der vierten Zeile**: \[ Z_4 - 6 \cdot Z_3 \] Das ergibt: \[ \begin{pmatrix} 3 & 2 & -4 & 2 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & | & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & | & 0 \\ 0 & 0 & -9 & 2 & | & 0 \end{pmatrix} \] 6. **Nun bringen wir die Matrix in die reduzierte Zeilenstufenform**. Wir können die vierte Zeile durch -1/9 teilen: \[ \begin{pmatrix} 3 & 2 & -4 & 2 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & | & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2/9 & | & 0 \end{pmatrix} \] 7. **Jetzt können wir die Rücksubstitution durchführen**. Wir setzen die Variablen in Bezug auf die freien Variablen ein. Die letzte Zeile gibt uns: \[ z = \frac{2}{9}y \] Die dritte Zeile gibt uns: \[ y + 2z + 3w = 0 \implies y + 2\left(\frac{2}{9}y\right) + 3w = 0 \implies y\left(1 + \frac{4}{9}\right) + 3w = 0 \implies \frac{13}{9}y + 3w = 0 \] Das bedeutet: \[ y = -\frac{27}{13}w \] Setzen wir \(y\) in die Gleichung für \(z\) ein: \[ z = \frac{2}{9}\left(-\frac{27}{13}w\right) = -\frac{6

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Um die Lösung des Gleichungssystems grafisch bestimmen, kannst du die beiden Gleichungen in ein Koordinatensystem einzeichnen. 1. **Gleichung 1: \( y = -2x - 5 \)** - Diese Gleichung hat eine... [mehr]

Accepted Answer

Um die Lösung des Gleichungssystems grafisch bestimmen, kannst du die beiden Gleichungen in ein Koordinatensystem einzeichnen. 1. **Gleichung 1: \( y = -2x - 5 \)** - Diese Gleichung hat eine negative Steigung von -2 und einen y-Achsenabschnitt bei -5. Du kannst zwei Punkte finden, um die Gerade zu zeichnen: - Wenn \( x = 0 \): \( y = -5 \) (Punkt: (0, -5)) - Wenn \( x = 1 \): \( y = -2(1) - 5 = -7 \) (Punkt: (1, -7)) 2. **Gleichung 2: \( y = 3x + 5 \)** - Diese Gleichung hat eine positive Steigung von 3 und einen y-Achsenabschnitt bei 5. Auch hier kannst du zwei Punkte finden: - Wenn \( x = 0 \): \( y = 5 \) (Punkt: (0, 5)) - Wenn \( x = 1 \): \( y = 3(1) + 5 = 8 \) (Punkt: (1, 8)) Nachdem du beide Geraden in das Koordinatensystem eingezeichnet hast, suchst du den Schnittpunkt der beiden Linien. Dieser Punkt ist die Lösung des Gleichungssystems. Um den Schnittpunkt algebraisch zu finden, setzt du die beiden Gleichungen gleich: \[ -2x - 5 = 3x + 5 \] Löse die Gleichung: \[ -2x - 3x = 5 + 5 \] \[ -5x = 10 \] \[ x = -2 \] Setze \( x = -2 \) in eine der beiden Gleichungen ein, um \( y \) zu finden: \[ y = 3(-2) + 5 = -6 + 5 = -1 \] Der Schnittpunkt und somit die Lösung des Gleichungssystems ist \( (-2, -1) \).

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Um Gleichungen zu lösen, musst du die Gleichung so umformen, dass die Unbekannte isoliert auf einer Seite steht. Hier sind die grundlegenden Schritte: 1. **Gleichung aufstellen**: Schreibe die G... [mehr]

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Um Gleichungen zu lösen, musst du die Gleichung so umformen, dass die Unbekannte isoliert auf einer Seite steht. Hier sind die grundlegenden Schritte: 1. **Gleichung aufstellen**: Schreibe die Gleichung auf, die du lösen möchtest. 2. **Terme zusammenfassen**: Fasse ähnliche Terme auf einer Seite der Gleichung zusammen. 3. **Unbekannte isolieren**: Verwende algebraische Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division), um die Unbekannte zu isolieren. 4. **Überprüfen**: Setze die gefundene Lösung in die ursprüngliche Gleichung ein, um zu überprüfen, ob sie korrekt ist. Wenn du ein konkretes Beispiel hast, kann ich dir gerne die Schritte zur Lösung zeigen.

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Hier sind zwei Aufgaben zum Thema negative und positive Zahlen multiplizieren und dividieren: 1. Multipliziere: \(-7 \times 5\) 2. Dividiere: \(-24 \div 6\) Lösungen: 1. \(-7 \times 5 = -35\)... [mehr]

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Hier sind zwei Aufgaben zum Thema negative und positive Zahlen multiplizieren und dividieren: 1. Multipliziere: \(-7 \times 5\) 2. Dividiere: \(-24 \div 6\) Lösungen: 1. \(-7 \times 5 = -35\) 2. \(-24 \div 6 = -4\)

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Um die Nullstelle der Funktion \( f(x) = \frac{ab}{(x+b)^2} \) zu berechnen, setzt man die Funktion gleich null: \[ \frac{ab}{(x+b)^2} = 0 \] Eine Bruchgleichung ist genau dann null, wenn der Zä... [mehr]

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Um die Nullstelle der Funktion \( f(x) = \frac{ab}{(x+b)^2} \) zu berechnen, setzt man die Funktion gleich null: \[ \frac{ab}{(x+b)^2} = 0 \] Eine Bruchgleichung ist genau dann null, wenn der Zähler null ist (vorausgesetzt, der Nenner ist nicht null). Daher setzen wir den Zähler gleich null: \[ ab = 0 \] Das bedeutet, dass entweder \( a = 0 \) oder \( b = 0 \) sein muss, um eine Nullstelle zu haben. Beachte, dass der Nenner \( (x+b)^2 \) niemals null sein kann, solange \( x \neq -b \). Daher gibt es keine Nullstelle in der Funktion, solange \( a \) und \( b \) nicht gleich null sind. Zusammenfassend: Die Nullstelle der Funktion existiert nur, wenn \( a = 0 \) oder \( b = 0 \).

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Der Überschlag von 74456 bezieht sich auf die Schätzung oder Rundung der Zahl. Wenn du den Überschlag auf die nächste Zehnerstelle machen möchtest, wäre das 74460. Wenn d... [mehr]

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Der Überschlag von 74456 bezieht sich auf die Schätzung oder Rundung der Zahl. Wenn du den Überschlag auf die nächste Zehnerstelle machen möchtest, wäre das 74460. Wenn du auf die nächste Hunderterstelle rundest, wäre es 74400. Bitte präzisiere, auf welche Art von Überschlag du abzielst, falls du eine spezifischere Antwort benötigst.

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Damit die Gleichung \( ax^2 + bx + c = 0 \) genau eine reelle Lösung hat, muss die Diskriminante \( D \) gleich null sein. Die Diskriminante wird durch die Formel \( D = b^2 - 4ac \) berechnet.... [mehr]

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Damit die Gleichung \( ax^2 + bx + c = 0 \) genau eine reelle Lösung hat, muss die Diskriminante \( D \) gleich null sein. Die Diskriminante wird durch die Formel \( D = b^2 - 4ac \) berechnet. Die Bedingung für genau eine reelle Lösung ist also: \[ b^2 - 4ac = 0 \] Wenn diese Gleichung erfüllt ist, hat die quadratische Gleichung genau eine reelle Lösung.

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-75 : -5 ergibt 15.

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-75 : -5 ergibt 15.

Kategorie: Mathematik Tags: Division Zahlen Mathematik

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Um die Ableitung der Funktion \( f(x) = \frac{ax}{x + b} \) zu bestimmen, kannst du die Quotientenregel anwenden. Die Quotientenregel besagt, dass die Ableitung einer Funktion der Form \( \frac{u}{v}... [mehr]

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Um die Ableitung der Funktion \( f(x) = \frac{ax}{x + b} \) zu bestimmen, kannst du die Quotientenregel anwenden. Die Quotientenregel besagt, dass die Ableitung einer Funktion der Form \( \frac{u}{v} \) gegeben ist durch: \[ f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Hier ist \( u = ax \) und \( v = x + b \). 1. Berechne die Ableitungen \( u' \) und \( v' \): - \( u' = a \) - \( v' = 1 \) 2. Setze die Werte in die Quotientenregel ein: \[ f'(x) = \frac{(a)(x + b) - (ax)(1)}{(x + b)^2} \] 3. Vereinfache den Zähler: \[ f'(x) = \frac{ax + ab - ax}{(x + b)^2} = \frac{ab}{(x + b)^2} \] Die Ableitung von \( \frac{ax}{x + b} \) ist also: \[ f'(x) = \frac{ab}{(x + b)^2} \]