Wie sieht eine Aufgabe zu Schnittstellen von Polynomfunktionen in Klasse 11 mit Lösung aus?

**Beispielaufgabe:**

Gegeben sind die beiden Funktionen
\( f(x) = x^3 - 2x^2 + x \)
und
\( g(x) = -x^2 + 3x \).

**Aufgabe:**
Bestimme alle Schnittpunkte der beiden Funktionsgraphen.

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**Lösung:**

1. **Gleichsetzen der Funktionen:**
\( f(x) = g(x) \)
\( x^3 - 2x^2 + x = -x^2 + 3x \)

2. **Umstellen:**
\( x^3 - 2x^2 + x + x^2 - 3x = 0 \)
\( x^3 - x^2 - 2x = 0 \)

3. **Ausklammern:**
\( x(x^2 - x - 2) = 0 \)

4. **Nullstellen bestimmen:**
a) \( x = 0 \)
b) \( x^2 - x - 2 = 0 \)

Die quadratische Gleichung lösen:
\( x^2 - x - 2 = 0 \)
Mitternachtsformel:
\( x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \)

Also:
\( x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \)
\( x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 \)

Die Schnittstellen liegen also bei \( x = 0 \), \( x = 2 \), \( x = -1 \).

5. **y-Koordinaten berechnen:**
Für \( x = 0 \):
\( f(0) = 0^3 - 2\cdot0^2 + 0 = 0 \)
Schnittpunkt: \( (0|0) \)

Für \( x = 2 \):
\( f(2) = 8 - 8 + 2 = 2 \)
Schnittpunkt: \( (2|2) \)

Für \( x = -1 \):
\( f(-1) = (-1) - 2\cdot1 + (-1) = -1 - 2 - 1 = -4 \)
Schnittpunkt: \( (-1|-4) \)

**Antwort:**
Die Graphen schneiden sich in den Punkten
\( (-1|-4) \), \( (0|0) \) und \( (2|2) \).