4 Fragen zu Polynomfunktion

Eine Wertetabelle für eine Polynomfunktion hilft dir, die Funktionswerte für verschiedene x-Werte zu berechnen und darzustellen. Hier ist eine Schritt-für-Schritt-Anleitung wie du eine Wertetabelle für eine Polynomfunktion erstellst: 1. **Bestimme die Polynomfunktion**: Zum Beispiel \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \). 2. **Wähle die x-Werte**: Entscheide, für welche x-Werte du die Funktionswerte berechnen möchtest. Zum Beispiel: -2, -1, 0, 1, 2. 3. **Berechne die Funktionswerte**: Setze die gewählten x-Werte in die Polynomfunktion ein und berechne die entsprechenden y-Werte. - Für \( x = -2 \): \( f(-2) = 2(-2)^3 - 3(-2)^2 + (-2) - 5 = -16 - 12 - 2 - 5 = -35 \) - Für \( x = -1 \): \( f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 + (-1) - 5 -2 - 3 - 1 - 5 = -11 \) - Für \( x = 0 \): \( f(0) = 2(0)^3 - 3(0)^2 + 0 - 5 = -5 \) Für \( x = 1 \): \( f(1) 2(1)^3 - 3(1)^2 + 1 - 5 = - 3 + 1 - 5 = -5 \) - Für \( x = 2 \): \( f(2) 2(2)^3 - 3(2)^2 + 2 - 5 = 16 - 12 + 2 - 5 = 1 \) 4. **Erstelle die Wertetabelle**: Trage die x-Werte und die berechneten y-Werte in eine Tabelle ein. | x | f(x) | |----|------| | -2 | -35 | | -1 | -11 | | 0 | -5 | | 1 | -5 | | 2 | 1 | Diese Tabelle zeigt dir die Funktionswerte für die gewählten x-Werte. Du kannst die Tabelle erweitern, indem du weitere x-Werte berechnest.

Um die Schnittpunkte einer Polynomfunktion mit den Koordinatenachsen zu finden, gehst du wie folgt vor: 1. **Schnittpunkte mit der y-Achse:** - Setze \( x = 0 \) in die Polynomfunktion ein. - Der Wert der Funktion an dieser Stelle ist der y-Achsenabschnitt. - Beispiel: Für die Funktion \( f(x) = 2x^3 - 4x + 1 \) setzt du \( x = 0 \) ein: \[ f(0) = 2(0)^3 - 4(0) + 1 = 1 \] - Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist also \( (0, 1) \). 2. **Schnittpunkte mit der x-Achse:** - Setze \( f(x) = 0 \) und löse die Gleichung nach \( x \) auf. - Dies kann je nach Grad des Polynoms unterschiedlich schwierig sein. - Beispiel: Für die Funktion \( f(x) = 2x^3 - 4x + 1 \) setzt du \( f(x) = 0 \): \[ 2x^3 - 4x + 1 = 0 \] - Diese Gleichung musst du nun nach \( x \) lösen. Das kann durch Faktorisierung, Substitution oder numerische Methoden geschehen. Für komplexere Polynomgleichungen kann es hilfreich sein, numerische Methoden oder Computer-Algebra-Systeme (CAS) zu verwenden, um die Nullstellen zu finden.

**Beispielaufgabe:** Gegeben sind die beiden Funktionen \( f(x) = x^3 - 2x^2 + x \) und \( g(x) = -x^2 + 3x \). **Aufgabe:** Bestimme alle Schnittpunkte der beiden Funktionsgraphen. --- **Lösung:** 1. **Gleichsetzen der Funktionen:** \( f(x) = g(x) \) \( x^3 - 2x^2 + x = -x^2 + 3x \) 2. **Umstellen:** \( x^3 - 2x^2 + x + x^2 - 3x = 0 \) \( x^3 - x^2 - 2x = 0 \) 3. **Ausklammern:** \( x(x^2 - x - 2) = 0 \) 4. **Nullstellen bestimmen:** a) \( x = 0 \) b) \( x^2 - x - 2 = 0 \) Die quadratische Gleichung lösen: \( x^2 - x - 2 = 0 \) Mitternachtsformel: \( x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \) Also: \( x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \) \( x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 \) Die Schnittstellen liegen also bei \( x = 0 \), \( x = 2 \), \( x = -1 \). 5. **y-Koordinaten berechnen:** Für \( x = 0 \): \( f(0) = 0^3 - 2\cdot0^2 + 0 = 0 \) Schnittpunkt: \( (0|0) \) Für \( x = 2 \): \( f(2) = 8 - 8 + 2 = 2 \) Schnittpunkt: \( (2|2) \) Für \( x = -1 \): \( f(-1) = (-1) - 2\cdot1 + (-1) = -1 - 2 - 1 = -4 \) Schnittpunkt: \( (-1|-4) \) **Antwort:** Die Graphen schneiden sich in den Punkten \( (-1|-4) \), \( (0|0) \) und \( (2|2) \).

**Aufgabenstellung:** Gegeben sind die beiden Polynomfunktionen \( f(x) = x^3 - 2x^2 + x \) und \( g(x) = x^2 - x + 2 \). Berechne die Schnittpunkte der beiden Funktionen mithilfe der Substitutionsmethode. --- **Lösung:** 1. **Gleichsetzen der Funktionen:** \( f(x) = g(x) \) \( x^3 - 2x^2 + x = x^2 - x + 2 \) 2. **Umstellen auf Null:** \( x^3 - 2x^2 + x - x^2 + x - 2 = 0 \) \( x^3 - 3x^2 + 2x - 2 = 0 \) 3. **Substitution:** Setze \( y = x^2 \): \( x^3 - 3x^2 + 2x - 2 = 0 \) \( x \cdot x^2 - 3x^2 + 2x - 2 = 0 \) \( x \cdot y - 3y + 2x - 2 = 0 \) Gruppiere nach \( y \): \( (x - 3)y + 2x - 2 = 0 \) Löse nach \( y \): \( (x - 3)y = 2 - 2x \) \( y = \frac{2 - 2x}{x - 3} \) Da \( y = x^2 \), setze zurück: \( x^2 = \frac{2 - 2x}{x - 3} \) 4. **Löse die Gleichung:** Multipliziere beide Seiten mit \( x - 3 \): \( x^2(x - 3) = 2 - 2x \) \( x^3 - 3x^2 + 2x - 2 = 0 \) (Das ist die ursprüngliche Gleichung, also weiter mit einer anderen Methode.) Alternativ: Versuche, die Gleichung zu faktorisieren oder mit dem Horner-Schema eine Nullstelle zu finden. 5. **Nullstellen raten (z.B. x = 1):** \( 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 - 2 = 1 - 3 + 2 - 2 = -2 \) \( x = 2 \): \( 8 - 12 + 4 - 2 = -2 \) \( x = -1 \): \( -1 - 3 + -2 - 2 = -8 \) \( x = 2 \): \( 8 - 12 + 4 - 2 = -2 \) \( x = 1 \): \( 1 - 3 + 2 - 2 = -2 \) \( x = -2 \): \( -8 - 12 - 4 - 2 = -26 \) Es scheint keine ganzzahlige Nullstelle zu geben. Versuche die Polynomdivision oder die Mitternachtsformel für quadratische Gleichungen. 6. **Alternativ: Numerische Lösung oder Näherung** Da die Gleichung keine offensichtliche rationale Nullstelle hat, kann man die Schnittpunkte näherungsweise bestimmen (z.B. mit dem Newton-Verfahren oder durch Ausprobieren). --- **Zusammenfassung:** Die Aufgabe zeigt, wie man die Schnittpunkte zweier Polynomfunktionen mit der Substitutionsmethode berechnet. Die Gleichung ist jedoch nicht einfach lösbar, sodass man in der Praxis meist auf numerische Methoden zurückgreifen muss, wenn keine offensichtlichen Nullstellen vorliegen. **Hinweis:** Für Aufgaben im Unterricht empfiehlt es sich, Funktionen zu wählen, bei denen die Gleichung nach der Substitution leichter lösbar ist (z.B. mit ganzzahligen Nullstellen).