Wie erstelle ich eine Wertetabelle für eine Polynomfunktion?

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Wie erstelle ich eine Wertetabelle für eine Polynomfunktion?

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Eine Wertetabelle für eine Polynomfunktion hilft dir, die Funktionswerte für verschiedene x-Werte zu berechnen und darzustellen. Hier ist eine Schritt-für-Schritt-Anleitung wie du eine Wertetabelle für eine Polynomfunktion erstellst: 1. **Bestimme die Polynomfunktion**: Zum Beispiel \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \). 2. **Wähle die x-Werte**: Entscheide, für welche x-Werte du die Funktionswerte berechnen möchtest. Zum Beispiel: -2, -1, 0, 1, 2. 3. **Berechne die Funktionswerte**: Setze die gewählten x-Werte in die Polynomfunktion ein und berechne die entsprechenden y-Werte. - Für \( x = -2 \): \( f(-2) = 2(-2)^3 - 3(-2)^2 + (-2) - 5 = -16 - 12 - 2 - 5 = -35 \) - Für \( x = -1 \): \( f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 + (-1) - 5 -2 - 3 - 1 - 5 = -11 \) - Für \( x = 0 \): \( f(0) = 2(0)^3 - 3(0)^2 + 0 - 5 = -5 \) Für \( x = 1 \): \( f(1) 2(1)^3 - 3(1)^2 + 1 - 5 = - 3 + 1 - 5 = -5 \) - Für \( x = 2 \): \( f(2) 2(2)^3 - 3(2)^2 + 2 - 5 = 16 - 12 + 2 - 5 = 1 \) 4. **Erstelle die Wertetabelle**: Trage die x-Werte und die berechneten y-Werte in eine Tabelle ein. | x | f(x) | |----|------| | -2 | -35 | | -1 | -11 | | 0 | -5 | | 1 | -5 | | 2 | 1 | Diese Tabelle zeigt dir die Funktionswerte für die gewählten x-Werte. Du kannst die Tabelle erweitern, indem du weitere x-Werte berechnest.

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45 auf die nächste 10 gerundet ergibt 50.

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45 auf die nächste 10 gerundet ergibt 50.

Kategorie: Mathematik Tags: Runden Zehnerstelle Mathematik

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Die Gleichung „0 durch 0 = 0 durch 1“ ist mathematisch nicht korrekt. - **0 durch 0** (also \( \frac{0}{0})) ist **nicht definiert**. Das liegt daran, dass jede Zahl mal 0 wieder 0 ergibt, also gibt es unendlich viele mögliche Ergebnisse – deshalb ist der Ausdruck undefiniert. - **0 durch 1** (also \( \frac{0}{1} \)) ist **definiert** und ergibt 0, weil 0 geteilt durch jede von 0 verschiedene Zahl immer 0 ist. Zusammengefasst: \( \frac{0}{0} \) ist nicht definiert, \( \frac{0}{1} = 0 \). Deshalb ist die Aussage „0 durch 0 = 0 durch 1“ **falsch**.

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Das Zeichen „×“ steht meist für das mathematische Symbol „Mal“ oder „Multiplikation“. Es wird verwendet, um auszudrücken, dass zwei Zahlen miteinander multipliziert werden sollen, zum Beispiel: 3 × 4 = 12. In anderen Kontexten kann es auch als Symbol für „Kreuz“ oder „mal“ (im Sinne von „Dimension“, z. B. 2×2 Meter) verwendet werden.

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Eine geometrische Entität ist ein grundlegendes Element der Geometrie, das eine bestimmte Form oder Lage im Raum beschreibt. Zu den wichtigsten geometrischen Entitäten zählen Punkte, Linien, Strecken, Ebenen, Kreise und Flächen. Sie dienen als Bausteine für komplexere geometrische Konstruktionen und werden häufig in Mathematik, Technik, Architektur und CAD-Systemen verwendet.

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Um den Prozentsatz zu berechnen, teilst du 6.861 durch 81.740 und multiplizierst das Ergebnis mit 100: \( \frac{6.861}{81.740} \times 100 = 8,39 \% \) 6.861 sind also etwa **8,39 %** von 81.740.

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Um den Prozentsatz zu berechnen, teilst du 6.861 durch 81.740 und multiplizierst das Ergebnis mit 100: \( \frac{6.861}{81.740} \times 100 = 8,39 \% \) 6.861 sind also etwa **8,39 %** von 81.740.

Kategorie: Mathematik Tags: Prozent Berechnung Mathematik

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Bei einer Sinusfunktion, meist in der Form \( f(x) = a \cdot \sin(bx + c) + d \), können folgende Eigenschaften angegeben werden: 1. **Amplitude** (\(a\)): Gibt die maximale Auslenkung vom Mitte... [mehr]

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Bei einer Sinusfunktion, meist in der Form \( f(x) = a \cdot \sin(bx + c) + d \), können folgende Eigenschaften angegeben werden: 1. **Amplitude** (\(a\)): Gibt die maximale Auslenkung vom Mittelwert an (Betrag von \(a\)). 2. **Periode**: Die Länge eines vollständigen Zyklus, berechnet als \( \frac{2\pi}{|b|} \). 3. **Frequenz**: Anzahl der Schwingungen pro Einheit, berechnet als \( \frac{|b|}{2\pi} \). 4. **Phasenverschiebung** (\(c\)): Verschiebung entlang der x-Achse, berechnet als \( -\frac{c}{b} \). 5. **Vertikale Verschiebung** (\(d\)): Verschiebung entlang der y-Achse. 6. **Nullstellen**: Die x-Werte, bei denen die Funktion den Wert 0 annimmt. 7. **Maxima und Minima**: Die höchsten und tiefsten Punkte der Funktion. 8. **Symmetrie**: Die Sinusfunktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung (bei Standardform). 9. **Definitionsbereich**: Meist ganz \(\mathbb{R}\). 10. **Wertebereich**: Von \(d-a\) bis \(d+a\). 11. **Ableitung**: Die Ableitung einer Sinusfunktion ist eine Kosinusfunktion. 12. **Stetigkeit und Differenzierbarkeit**: Die Sinusfunktion ist überall stetig und differenzierbar. 13. **Monotonie**: Abschnitte, in denen die Funktion steigt oder fällt. Diese Eigenschaften beschreiben das Verhalten und die Form einer Sinusfunktion umfassend.

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**Aufgabenstellung:** Gegeben sind die beiden Polynomfunktionen \( f(x) = x^3 - 2x^2 + x \) und \( g(x) = x^2 - x + 2 \). Berechne die Schnittpunkte der beiden Funktionen mithilfe der Substitu... [mehr]

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**Aufgabenstellung:** Gegeben sind die beiden Polynomfunktionen \( f(x) = x^3 - 2x^2 + x \) und \( g(x) = x^2 - x + 2 \). Berechne die Schnittpunkte der beiden Funktionen mithilfe der Substitutionsmethode. --- **Lösung:** 1. **Gleichsetzen der Funktionen:** \( f(x) = g(x) \) \( x^3 - 2x^2 + x = x^2 - x + 2 \) 2. **Umstellen auf Null:** \( x^3 - 2x^2 + x - x^2 + x - 2 = 0 \) \( x^3 - 3x^2 + 2x - 2 = 0 \) 3. **Substitution:** Setze \( y = x^2 \): \( x^3 - 3x^2 + 2x - 2 = 0 \) \( x \cdot x^2 - 3x^2 + 2x - 2 = 0 \) \( x \cdot y - 3y + 2x - 2 = 0 \) Gruppiere nach \( y \): \( (x - 3)y + 2x - 2 = 0 \) Löse nach \( y \): \( (x - 3)y = 2 - 2x \) \( y = \frac{2 - 2x}{x - 3} \) Da \( y = x^2 \), setze zurück: \( x^2 = \frac{2 - 2x}{x - 3} \) 4. **Löse die Gleichung:** Multipliziere beide Seiten mit \( x - 3 \): \( x^2(x - 3) = 2 - 2x \) \( x^3 - 3x^2 + 2x - 2 = 0 \) (Das ist die ursprüngliche Gleichung, also weiter mit einer anderen Methode.) Alternativ: Versuche, die Gleichung zu faktorisieren oder mit dem Horner-Schema eine Nullstelle zu finden. 5. **Nullstellen raten (z.B. x = 1):** \( 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 - 2 = 1 - 3 + 2 - 2 = -2 \) \( x = 2 \): \( 8 - 12 + 4 - 2 = -2 \) \( x = -1 \): \( -1 - 3 + -2 - 2 = -8 \) \( x = 2 \): \( 8 - 12 + 4 - 2 = -2 \) \( x = 1 \): \( 1 - 3 + 2 - 2 = -2 \) \( x = -2 \): \( -8 - 12 - 4 - 2 = -26 \) Es scheint keine ganzzahlige Nullstelle zu geben. Versuche die Polynomdivision oder die Mitternachtsformel für quadratische Gleichungen. 6. **Alternativ: Numerische Lösung oder Näherung** Da die Gleichung keine offensichtliche rationale Nullstelle hat, kann man die Schnittpunkte näherungsweise bestimmen (z.B. mit dem Newton-Verfahren oder durch Ausprobieren). --- **Zusammenfassung:** Die Aufgabe zeigt, wie man die Schnittpunkte zweier Polynomfunktionen mit der Substitutionsmethode berechnet. Die Gleichung ist jedoch nicht einfach lösbar, sodass man in der Praxis meist auf numerische Methoden zurückgreifen muss, wenn keine offensichtlichen Nullstellen vorliegen. **Hinweis:** Für Aufgaben im Unterricht empfiehlt es sich, Funktionen zu wählen, bei denen die Gleichung nach der Substitution leichter lösbar ist (z.B. mit ganzzahligen Nullstellen).

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**Beispielaufgabe:** Gegeben sind die beiden Funktionen \( f(x) = x^3 - 2x^2 + x \) und \( g(x) = -x^2 + 3x \). **Aufgabe:** Bestimme alle Schnittpunkte der beiden Funktionsgraphen. --- **Lösung:** 1. **Gleichsetzen der Funktionen:** \( f(x) = g(x) \) \( x^3 - 2x^2 + x = -x^2 + 3x \) 2. **Umstellen:** \( x^3 - 2x^2 + x + x^2 - 3x = 0 \) \( x^3 - x^2 - 2x = 0 \) 3. **Ausklammern:** \( x(x^2 - x - 2) = 0 \) 4. **Nullstellen bestimmen:** a) \( x = 0 \) b) \( x^2 - x - 2 = 0 \) Die quadratische Gleichung lösen: \( x^2 - x - 2 = 0 \) Mitternachtsformel: \( x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \) Also: \( x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \) \( x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 \) Die Schnittstellen liegen also bei \( x = 0 \), \( x = 2 \), \( x = -1 \). 5. **y-Koordinaten berechnen:** Für \( x = 0 \): \( f(0) = 0^3 - 2\cdot0^2 + 0 = 0 \) Schnittpunkt: \( (0|0) \) Für \( x = 2 \): \( f(2) = 8 - 8 + 2 = 2 \) Schnittpunkt: \( (2|2) \) Für \( x = -1 \): \( f(-1) = (-1) - 2\cdot1 + (-1) = -1 - 2 - 1 = -4 \) Schnittpunkt: \( (-1|-4) \) **Antwort:** Die Graphen schneiden sich in den Punkten \( (-1|-4) \), \( (0|0) \) und \( (2|2) \).

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Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der eine unbekannte Funktion und ihre Ableitungen vorkommen. Sie beschreibt, wie sich eine Größe (z. B. Temperatur, Geschwindigkeit, Popula... [mehr]

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Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der eine unbekannte Funktion und ihre Ableitungen vorkommen. Sie beschreibt, wie sich eine Größe (z. B. Temperatur, Geschwindigkeit, Population) in Abhängigkeit von einer oder mehreren Variablen verändert. **Beispiel einer Differentialgleichung:** \[ \frac{dy}{dx} = 3y \] Hier ist \( y \) die unbekannte Funktion von \( x \), und \( \frac{dy}{dx} \) ist ihre Ableitung. **Lösen einer Differentialgleichung:** Das Ziel ist, die Funktion \( y(x) \) zu finden, die die Gleichung erfüllt. **Schritt-für-Schritt-Lösung des Beispiels:** 1. **Trennung der Variablen:** \[ \frac{dy}{dx} = 3y \implies \frac{1}{y}dy = 3dx \] 2. **Integration beider Seiten:** \[ \int \frac{1}{y}dy = \int 3dx \] \[ \ln|y| = 3x + C \] (C ist die Integrationskonstante.) 3. **Umstellen nach \( y \):** \[ |y| = e^{3x + C} = e^C \cdot e^{3x} \] \[ y(x) = A e^{3x} \] (mit \( A = \pm e^C \), eine beliebige Konstante.) **Zusammenfassung:** - Eine Differentialgleichung enthält Ableitungen einer Funktion. - Die Lösung ist eine Funktion, die die Gleichung erfüllt. - Es gibt verschiedene Methoden zur Lösung, je nach Typ der Differentialgleichung (z. B. Trennung der Variablen, Variation der Konstanten, charakteristische Gleichung bei linearen DGLs). Weitere Informationen findest du z. B. auf [Wikipedia: Differentialgleichung](https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialgleichung).

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Es sieht so aus, als wolltest du nach Prozentrechnung fragen. Prozentrechnung ist ein mathematisches Verfahren, um Anteile von einem Ganzen zu berechnen. Hier die wichtigsten Grundlagen: 1. **Prozent... [mehr]

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Es sieht so aus, als wolltest du nach Prozentrechnung fragen. Prozentrechnung ist ein mathematisches Verfahren, um Anteile von einem Ganzen zu berechnen. Hier die wichtigsten Grundlagen: 1. **Prozent bedeutet "von Hundert"**: 1% = 1 von 100 = 0,01 2. **Grundformel der Prozentrechnung**: Prozentwert = Grundwert × Prozentsatz Beispiel: 20% von 150 = 150 × 0,20 = 30 3. **Begriffe**: - **Grundwert (G)**: Das Ganze, von dem du einen Anteil berechnest - **Prozentsatz (p%)**: Der Anteil in Prozent - **Prozentwert (W)**: Der berechnete Anteil 4. **Umstellen der Formel**: - Prozentwert (W) = Grundwert (G) × Prozentsatz (p%) - Grundwert (G) = Prozentwert (W) ÷ Prozentsatz (p%) - Prozentsatz (p%) = Prozentwert (W) ÷ Grundwert (G) Wenn du ein konkretes Beispiel hast, kann ich dir die Rechnung dazu zeigen.