Wie löse ich das Gleichungssystem: 3x - 9y = 6; 5x - 7y = 6?

Um das gegebene Gleichungssystem zu lösen, kann das Verfahren der Substitution oder das Additionsverfahren verwendet werden. Hier wird das Additionsverfahren angewendet:

1. \( 3x - 9y = 6 \)
2. \( 5x - 7y = 6 \)

Zuerst wird die erste Gleichung so umgeformt, dass die Koeffizienten von \( x \) oder \( y \) gleich werden. Hier wird der Koeffizient von \( x \) gleich gemacht:

Multipliziere die erste Gleichung mit 5 und die zweite Gleichung mit 3:

1. \( 5(3x - 9y) = 5 \cdot 6 \)
2. \( 3(5x - 7y) = 3 \cdot 6 \)

Das ergibt:

1. \( 15x - 45y = 30 \)
2. \( 15x - 21y = 18 \)

Nun wird die zweite Gleichung von der ersten subtrahiert:

\( (15x - 45y) - (15x - 21y) = 30 - 18 \)

Das vereinfacht sich zu:

\( -45y + 21y = 12 \)

\( -24y = 12 \)

Teile beide Seiten durch -24:

\( y = -\frac{1}{2} \)

Setze \( y = -\frac{1}{2} \) in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um \( x \) zu finden. Verwende die erste Gleichung:

\( 3x - 9(-\frac{1}{2}) = 6 \)

\( 3x + \frac{9}{2} = 6 \)

Multipliziere alles mit 2, um die Brüche zu eliminieren:

\( 6x + 9 = 12 \)

Subtrahiere 9 von beiden Seiten:

\( 6x = 3 \)

Teile durch 6:

\( x = \frac{1}{2} \)

Die Lösung des Gleichungssystems ist:

\( x = \frac{1}{2} \)
\( y = -\frac{1}{2} \)

**Probe:**

Setze \( x = \frac{1}{2} \) und \( y = -\frac{1}{2} \) in beide ursprünglichen Gleichungen ein:

1. \( 3(\frac{1}{2}) - 9(-\frac{1}{2}) = 6 \)

\( \frac{3}{2} + \frac{9}{2} = 6 \)

\( \frac{12}{2} = 6 \)

\( 6 = 6 \) (stimmt)

2. \( 5(\frac{1}{2}) - 7(-\frac{1}{2}) = 6 \)

\( \frac{5}{2} + \frac{7}{2} = 6 \)

\( \frac{12}{2} = 6 \)

\( 6 = 6 \) (stimmt)

Die Lösung \( x = \frac{1}{2} \) und \( y = -\frac{1}{2} \) ist korrekt.