6 Fragen zu Rechenverfahren

Um das gegebene Gleichungssystem zu lösen, kann das Verfahren der Substitution oder das Additionsverfahren verwendet werden. Hier wird das Additionsverfahren angewendet: 1. \(0,5x - 3y = -1\) 2. \(3x - 4y = 8\) Zuerst wird die erste Gleichung so umgeformt, dass die Koeffizienten der Variablen gleich werden. Multipliziere die erste Gleichung mit 6, um den Koeffizienten von \(x\) anzugleichen: \[6 \cdot (0,5x - 3y) = 6 \cdot (-1)\] \[3x - 18y = -6\] Nun haben wir das neue Gleichungssystem: 1. \(3x - 18y = -6\) 2. \(3x - 4y = 8\) Subtrahiere die zweite Gleichung von der ersten, um \(x\) zu eliminieren: \[(3x - 18y) - (3x - 4y) = -6 - 8\] \[3x - 18y - 3x + 4y = -14\] \[-14y = -14\] Teile beide Seiten durch \(-14\): \[y = 1\] Setze \(y = 1\) in die zweite ursprüngliche Gleichung ein, um \(x\) zu finden: \[3x - 4(1) = 8\] \[3x - 4 = 8\] \[3x = 12\] Teile beide Seiten durch 3: \[x = 4\] Die Lösung des Gleichungssystems ist: \[x = 4\] \[y = 1\]

Die interne Zinsfuß-Methode (IRR-Methode) ist ein dynamisches Rechenverfahren zur Bewertung von Investitionen. Sie berechnet den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert (Net Present Value, NPV) einer Investition gleich null ist. Hier sind die Vorteile und Nachteile sowie eine kurze Erklärung der Funktionsweise: ### Funktionsweise: 1. **Berechnung des IRR**: Der interne Zinsfuß ist der Zinssatz, bei dem die Summe der abgezinsten Ein- und Auszahlungen einer Investition gleich null ist. Mathematisch wird dies durch die Gleichung dargestellt: \[ \sum_{t=0}^{n} \frac{C_t}{(1 + IRR)^t} = 0 \] wobei \( C_t \) die Cashflows in den Perioden \( t \) sind und \( n \) die Anzahl der Perioden ist. 2. **Iterative Lösung**: Da die Gleichung nicht analytisch gelöst werden kann, wird der IRR meist durch iterative Verfahren wie das Newton-Raphson-Verfahren oder durch numerische Methoden wie die Interpolation ermittelt. ### Vorteile: 1. **Einfache Vergleichbarkeit**: Der IRR bietet eine einfache Möglichkeit, verschiedene Investitionsprojekte zu vergleichen, da er als Prozentsatz ausgedrückt wird. 2. **Berücksichtigung des Zeitwerts des Geldes**: Die Methode berücksichtigt den Zeitwert des Geldes, was sie realistischer macht als statische Verfahren. 3. **Unabhängigkeit von Kapitalkosten**: Der IRR ist unabhängig von den Kapitalkosten des Unternehmens, was ihn zu einem objektiven Maßstab macht. ### Nachteile: 1. **Mehrdeutigkeit**: Bei nicht-konventionellen Cashflows (mehrere Vorzeichenwechsel) kann es mehrere IRRs geben, was die Interpretation erschwert. 2. **Keine Aussage über absolute Rentabilität**: Der IRR gibt keine Information über die absolute Höhe des Kapitalwerts, sondern nur über die relative Rentabilität. 3. **Probleme bei Vergleich von Projekten unterschiedlicher Größe**: Der IRR kann irreführend sein, wenn Projekte unterschiedlicher Größe oder Laufzeit verglichen werden. 4. **Rechenaufwand**: Die Berechnung des IRR kann komplex und zeitaufwendig sein, insbesondere bei großen Projekten mit vielen Cashflows. Die interne Zinsfuß-Methode ist ein nützliches Werkzeug zur Bewertung von Investitionen, sollte jedoch in Kombination mit anderen Methoden verwendet werden, um eine umfassende Entscheidungsgrundlage zu bieten.

Ein mögliches Unterrichtsziel für eine Wiederholungsstunde zu Plusaufgaben und halbschriftlichen Rechenverfahren könnte lauten: "Die Schülerinnen und Schüler sollen in der Lage sein, halbschriftliche Rechenverfahren anzuwenden, um zweistellige und dreistellige Zahlen korrekt zu addieren, und dabei die Bedeutung der Stellenwerte zu verstehen."

Um das gegebene Gleichungssystem zu lösen, kann das Verfahren der Substitution oder das Additionsverfahren verwendet werden. Hier wird das Additionsverfahren angewendet: 1. \(0{,}5 \cdot x - 3y = -1\) 2. \(3x - 4y = 8\) Zuerst wird die erste Gleichung so umgeformt, dass die Koeffizienten von \(x\) gleich sind. Multipliziere die erste Gleichung mit 6, um den Koeffizienten von \(x\) auf 3 zu bringen: \[ 6 \cdot (0{,}5 \cdot x - 3y) = 6 \cdot (-1) \] Das ergibt: \[ 3x - 18y = -6 \] Nun hat man das neue Gleichungssystem: 1. \(3x - 18y = -6\) 2. \(3x - 4y = 8\) Subtrahiere die zweite Gleichung von der ersten, um \(x\) zu eliminieren: \[ (3x - 18y) - (3x - 4y) = -6 - 8 \] Das vereinfacht sich zu: \[ -14y = -14 \] Teile beide Seiten durch -14: \[ y = 1 \] Setze \(y = 1\) in die zweite ursprüngliche Gleichung ein, um \(x\) zu finden: \[ 3x - 4 \cdot 1 = 8 \] Das ergibt: \[ 3x - 4 = 8 \] Addiere 4 zu beiden Seiten: \[ 3x = 12 \] Teile beide Seiten durch 3: \[ x = 4 \] Die Lösung des Gleichungssystems ist: \[ x = 4, \quad y = 1 \]

Um das gegebene Gleichungssystem zu lösen, kann das Verfahren der Substitution oder das Additionsverfahren verwendet werden. Hier wird das Additionsverfahren angewendet: 1. \( 3x - 9y = 6 \) 2. \( 5x - 7y = 6 \) Zuerst wird die erste Gleichung so umgeformt, dass die Koeffizienten von \( x \) oder \( y \) gleich werden. Hier wird der Koeffizient von \( x \) gleich gemacht: Multipliziere die erste Gleichung mit 5 und die zweite Gleichung mit 3: 1. \( 5(3x - 9y) = 5 \cdot 6 \) 2. \( 3(5x - 7y) = 3 \cdot 6 \) Das ergibt: 1. \( 15x - 45y = 30 \) 2. \( 15x - 21y = 18 \) Nun wird die zweite Gleichung von der ersten subtrahiert: \( (15x - 45y) - (15x - 21y) = 30 - 18 \) Das vereinfacht sich zu: \( -45y + 21y = 12 \) \( -24y = 12 \) Teile beide Seiten durch -24: \( y = -\frac{1}{2} \) Setze \( y = -\frac{1}{2} \) in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um \( x \) zu finden. Verwende die erste Gleichung: \( 3x - 9(-\frac{1}{2}) = 6 \) \( 3x + \frac{9}{2} = 6 \) Multipliziere alles mit 2, um die Brüche zu eliminieren: \( 6x + 9 = 12 \) Subtrahiere 9 von beiden Seiten: \( 6x = 3 \) Teile durch 6: \( x = \frac{1}{2} \) Die Lösung des Gleichungssystems ist: \( x = \frac{1}{2} \) \( y = -\frac{1}{2} \) **Probe:** Setze \( x = \frac{1}{2} \) und \( y = -\frac{1}{2} \) in beide ursprünglichen Gleichungen ein: 1. \( 3(\frac{1}{2}) - 9(-\frac{1}{2}) = 6 \) \( \frac{3}{2} + \frac{9}{2} = 6 \) \( \frac{12}{2} = 6 \) \( 6 = 6 \) (stimmt) 2. \( 5(\frac{1}{2}) - 7(-\frac{1}{2}) = 6 \) \( \frac{5}{2} + \frac{7}{2} = 6 \) \( \frac{12}{2} = 6 \) \( 6 = 6 \) (stimmt) Die Lösung \( x = \frac{1}{2} \) und \( y = -\frac{1}{2} \) ist korrekt.

Dynamische Investitionsrechenverfahren berücksichtigen den Zeitwert des Geldes und sind daher komplexer als statische Verfahren. Die beiden gängigsten dynamischen Verfahren sind die Kapitalwertmethode und die interne Zinsfußmethode. Hier sind die wesentlichen Unterschiede: 1. **Kapitalwertmethode (Net Present Value, NPV)**: - **Berechnung**: Der Kapitalwert wird berechnet, indem alle zukünftigen Cashflows einer Investition auf den heutigen Zeitpunkt abgezinst und dann die anfänglichen Investitionskosten abgezogen werden. - **Entscheidungskriterium**: Eine Investition ist vorteilhaft, wenn der Kapitalwert positiv ist. Ein positiver Kapitalwert bedeutet, dass die Investition einen höheren Ertrag als die geforderte Mindestverzinsung (Kalkulationszinsfuß) bringt. - **Vorteil**: Berücksichtigt den absoluten Wertzuwachs und ist leicht interpretierbar. 2. **Interne Zinsfußmethode (Internal Rate of Return, IRR)**: - **Berechnung**: Der interne Zinsfuß ist der Zinssatz, bei dem der Kapitalwert der Investition null ist. Es ist der Zinssatz, bei dem die abgezinsten Cashflows genau den anfänglichen Investitionskosten entsprechen. - **Entscheidungskriterium**: Eine Investition ist vorteilhaft, wenn der interne Zinsfuß höher ist als der geforderte Mindestverzinsungssatz (Kalkulationszinsfuß). - **Vorteil**: Liefert eine relative Rentabilitätskennzahl, die leicht mit anderen Investitionen oder dem Kalkulationszinsfuß verglichen werden kann. **Zusammengefasst**: - Die Kapitalwertmethode gibt den absoluten Wertzuwachs an, während die interne Zinsfußmethode die Rentabilität in Form eines Prozentsatzes angibt. - Die Kapitalwertmethode ist einfacher zu interpretieren, da sie den tatsächlichen Wertzuwachs zeigt, während die interne Zinsfußmethode nützlich ist, um die Rentabilität verschiedener Investitionen zu vergleichen. Beide Methoden haben ihre Vor- und Nachteile und können je nach Situation und Präferenz des Investors unterschiedlich nützlich sein.