45 Fragen zu Loesungsmenge

Um die Lösungsmenge einer Gleichung zu bestimmen, folge diesen allgemeinen Schritten: 1. **Gleichung aufstellen**: Stelle sicher, dass die Gleichung korrekt formuliert ist. Zum Beispiel: \(2x + 3 = 7\). 2. **Gleichung vereinfachen**: Bringe die Gleichung in eine einfachere Form, falls nötig. Dies kann das Zusammenfassen von Termen oder das Ausmultiplizieren beinhalten. 3. **Isolieren der Variablen**: Versuche, die Variable (z.B. \(x\)) auf einer Seite der Gleichung zu isolieren. Dies kann durch Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division geschehen. - Beispiel: \(2x + 3 = 7\) - Subtrahiere 3 von beiden Seiten: \(2x = 4\) - Teile durch 2: \(x = 2\) 4. **Überprüfen**: Setze die gefundene Lösung in die ursprüngliche Gleichung ein, um sicherzustellen, dass sie korrekt ist. - Beispiel: Setze \(x = 2\) in \(2x + 3 = 7\) ein: \(2(2) + 3 = 7\), was korrekt ist. 5. **Lösungsmenge angeben**: Schreibe die Lösungsmenge auf. In diesem Fall ist die Lösungsmenge \(\{2\}\). Für komplexere Gleichungen, wie quadratische Gleichungen oder Gleichungssysteme, können zusätzliche Methoden wie die Mitternachtsformel, Faktorisierung oder das Einsetzungsverfahren erforderlich sein. Weitere Informationen und Beispiele findest du auf Websites wie [Khan Academy](https://www.khanacademy.org/math/algebra) oder [Mathebibel](https://www.mathebibel.de/gleichungen-loesen).

Die Gleichung, die du angegeben hast, lautet 11x + 3 = 47. Um die Lösungsmenge zu finden, musst du die Gleichung nach x auflösen. 1. Subtrahiere 3 von beiden Seiten der Gleichung: 11x + 3 - 3 = 47 - 3 11x = 44 2. Teile beide Seiten der Gleichung durch 11: 11x / 11 = 44 / 11 x = 4 Die Lösungsmenge der Gleichung 11x + 3 = 47 ist also {4}.

Um die Lösungsmenge der Gleichung \( x^2 = 4x \) zu finden, kannst du die Gleichung zunächst umformen: 1. Subtrahiere \( 4x \) von beiden Seiten der Gleichung: \[ x^2 - 4x = 0 \] 2. Faktorisieren der Gleichung: \[ x(x - 4) = 0 \] 3. Setze jeden Faktor gleich Null und löse nach \( x \) auf: \[ x = 0 \] \[ x - 4 = 0 \implies x = 4 \] Die Lösungsmenge ist also: \[ \{0, 4\} \]

Die Gleichung \( x^2 = 4x + 5 \) kann durch Umstellen und Lösen einer quadratischen Gleichung gelöst werden. Hier ist der Schritt-für-Schritt-Prozess: 1. Bringe alle Terme auf eine Seite der Gleichung, um die Gleichung in die Standardform \( ax^2 + bx + c = 0 \) zu bringen: \[ x^2 - 4x - 5 = 0 \] 2. Diese quadratische Gleichung kann mit der Mitternachtsformel (auch bekannt als die quadratische Lösungsformel) gelöst werden: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] wobei \( a = 1 \), \( b = -4 \) und \( c = -5 \). 3. Setze die Werte in die Formel ein: \[ x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} \] \[ x = \frac{4 \pm 6}{2} \] 4. Berechne die beiden möglichen Lösungen: \[ x_1 = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5 \] \[ x_2 = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \] Die Lösungsmenge der Gleichung \( x^2 = 4x + 5 \) ist also: \[ \{ -1, 5 \} \]

Um die Lösungsmenge einer Gleichung zu bestimmen, folge diesen allgemeinen Schritten: 1. **Gleichung vereinfachen**: Bringe die Gleichung in eine einfachere Form, indem du alle Terme auf eine Seite der Gleichung bringst und sie so weit wie möglich zusammenfasst. 2. **Isolieren der Variablen**: Versuche, die Variable, die du lösen möchtest, auf einer Seite der Gleichung zu isolieren. Dies kann durch Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division geschehen. 3. **Lösen der Gleichung**: Führe die notwendigen Rechenschritte durch, um die Variable zu isolieren und die Gleichung zu lösen. 4. **Überprüfen der Lösung**: Setze die gefundene Lösung in die ursprüngliche Gleichung ein, um sicherzustellen, dass sie korrekt ist. Hier ist ein einfaches Beispiel: Gegeben sei die Gleichung: \(2x + 3 = 7\) 1. **Gleichung vereinfachen**: Die Gleichung ist bereits vereinfacht. 2. **Isolieren der Variablen**: Subtrahiere 3 von beiden Seiten: \(2x = 4\) 3. **Lösen der Gleichung**: Teile beide Seiten durch 2: \(x = 2\) 4. **Überprüfen der Lösung**: Setze \(x = 2\) in die ursprüngliche Gleichung ein: \(2(2) + 3 = 7\), was korrekt ist. Die Lösungsmenge ist also \(\{2\}\). Für komplexere Gleichungen, wie quadratische Gleichungen oder Gleichungssysteme, können zusätzliche Methoden wie die Mitternachtsformel, Faktorisierung oder Matrizen verwendet werden.

Um die Lösungsmenge der Gleichung \(5x - 7 = 5x + 10\) zu bestimmen, folge diesen Schritten: 1. **Subtrahiere \(5x\) von beiden Seiten der Gleichung:** \[ 5x - 7 - 5x = 5x + 10 - 5x \] Dies vereinfacht sich zu: \[ -7 = 10 \] 2. **Überprüfe die resultierende Aussage:** \[ -7 = 10 \] Diese Aussage ist offensichtlich falsch. Da die Gleichung zu einer falschen Aussage führt, gibt es keine Werte für \(x\), die die Gleichung erfüllen. Daher ist die Lösungsmenge leer. **Lösungsmenge:** \[ \emptyset \]

Um die Lösungsmenge der Ungleichung \(-34x + 8x + 45 < -33\) zu finden, folge diesen Schritten: 1. Kombiniere die \(x\)-Terme: \[ -34x + 8x = -26x \] Also wird die Ungleichung zu: \[ -26x + 45 < -33 \] 2. Subtrahiere 45 von beiden Seiten der Ungleichung: \[ -26x < -33 - 45 \] \[ -26x < -78 \] 3. Teile beide Seiten der Ungleichung durch \(-26\). Beachte, dass sich das Ungleichheitszeichen umdreht, wenn du durch eine negative Zahl teilst: \[ x > \frac{-78}{-26} \] \[ x > 3 \] Die Lösungsmenge der Ungleichung ist also: \[ x > 3 \]

Um die Lösungsmenge der Gleichung \( x^2 + 8x = 0 \) zu finden, kannst du die Gleichung faktorisieren. 1. Setze die Gleichung gleich Null: \[ x^2 + 8x = 0 \] 2. Faktorisieren: \[ x(x + 8) = 0 \] 3. Setze jeden Faktor gleich Null und löse nach \( x \) auf: \[ x = 0 \] \[ x + 8 = 0 \implies x = -8 \] Die Lösungsmenge ist also: \[ \{0, -8\} \]

Um die Lösungsmenge der Gleichung \(\frac{1}{2}x - 7x + 12 = 0\) zu finden, folge diesen Schritten: 1. Kombiniere die \(x\)-Terme: \[ \frac{1}{2}x - 7x = \frac{1}{2}x - \frac{14}{2}x = \frac{1 - 14}{2}x = -\frac{13}{2}x \] Die Gleichung wird zu: \[ -\frac{13}{2}x + 12 = 0 \] 2. Isoliere den \(x\)-Term: \[ -\frac{13}{2}x = -12 \] 3. Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \(-\frac{2}{13}\), um \(x\) zu isolieren: \[ x = -12 \cdot -\frac{2}{13} = \frac{24}{13} \] Die Lösungsmenge ist: \[ \left\{ \frac{24}{13} \right\} \]

Die gegebene Gleichung scheint unvollständig oder fehlerhaft zu sein. Es sieht so aus, als ob du eine quadratische Gleichung lösen möchtest. Eine typische quadratische Gleichung hat die Form \( ax^2 + bx + c = 0 \). Falls du die Gleichung \( 2c^2 + 12x + 20 = 0 \) meinst, dann kannst du die Lösungsmenge durch die Anwendung der Mitternachtsformel (auch bekannt als die quadratische Lösungsformel) finden: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Hier sind die Koeffizienten: - \( a = 2 \) - \( b = 12 \) - \( c = 20 \) Setze diese Werte in die Formel ein: \[ x = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4 \cdot 2 \cdot 20}}{2 \cdot 2} \] \[ x = \frac{-12 \pm \sqrt{144 - 160}}{4} \] \[ x = \frac{-12 \pm \sqrt{-16}}{4} \] Da die Diskriminante (\( b^2 - 4ac \)) negativ ist (\( -16 \)), gibt es keine reellen Lösungen für diese Gleichung. Stattdessen gibt es zwei komplexe Lösungen: \[ x = \frac{-12 \pm 4i}{4} \] \[ x = -3 \pm i \] Die Lösungsmenge ist also: \[ x = -3 + i \] \[ x = -3 - i \]

Um die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der gegebenen Gleichung zu bestimmen, gehen wir wie folgt vor: Die gegebene Gleichung lautet: \[ \frac{4}{x+1} - \frac{7}{4x+4} = \frac{3}{2x-2} \] ### 1. Definitionsmenge bestimmen Die Definitionsmenge umfasst alle Werte von \( x \), für die die Gleichung definiert ist. Das bedeutet, dass die Nenner der Brüche nicht null sein dürfen. - \( x + 1 \neq 0 \) ⟹ \( x \neq -1 \) - \( 4x + 4 \neq 0 \) ⟹ \( 4(x + 1) \neq 0 \) ⟹ \( x \neq -1 \) - \( 2x - 2 \neq 0 \) ⟹ \( 2(x - 1) \neq 0 \) ⟹ \( x \neq 1 \) Also ist die Definitionsmenge: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} \] ### 2. Gleichung lösen Um die Gleichung zu lösen, bringen wir sie auf einen gemeinsamen Nenner. Der gemeinsame Nenner der Brüche ist \( (x+1)(2x-2) \). Schreibe die Gleichung um: \[ \frac{4(2x-2)}{(x+1)(2x-2)} - \frac{7(x+1)}{(x+1)(2x-2)} = \frac{3(x+1)}{(x+1)(2x-2)} \] Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit dem gemeinsamen Nenner \( (x+1)(2x-2) \), um die Brüche zu eliminieren: \[ 4(2x-2) - 7(x+1) = 3(x+1) \] Vereinfache die Gleichung: \[ 8x - 8 - 7x - 7 = 3x + 3 \] \[ x - 15 = 3x + 3 \] Bringe alle \( x \)-Terme auf eine Seite und die konstanten Terme auf die andere Seite: \[ x - 3x = 3 + 15 \] \[ -2x = 18 \] \[ x = -9 \] ### 3. Überprüfen, ob die Lösung in der Definitionsmenge liegt Die Lösung \( x = -9 \) liegt in der Definitionsmenge \( D = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} \). ### 4. Lösungsmenge Die Lösungsmenge ist: \[ L = \{-9\} \]

Um eine Gleichung zu lösen und die Lösungsmenge anzugeben, folge diesen allgemeinen Schritten: 1. **Gleichung vereinfachen**: Bringe alle Terme auf eine Seite der Gleichung, sodass auf der anderen Seite nur noch Null steht. 2. **Lösungsmethoden anwenden**: Je nach Art der Gleichung (linear, quadratisch, etc.) wende die passende Lösungsmethode an. 3. **Lösungen überprüfen**: Setze die gefundenen Lösungen in die ursprüngliche Gleichung ein, um sicherzustellen, dass sie korrekt sind. 4. **Lösungsmenge angeben**: Schreibe die Lösungen in Mengenklammern. Hier sind zwei Beispiele: ### Beispiel 1: Lineare Gleichung Gleichung: \(2x + 3 = 7\) 1. **Gleichung vereinfachen**: \[2x + 3 - 3 = 7 - 3\] \[2x = 4\] 2. **Lösungsmethode anwenden**: \[x = \frac{4}{2}\] \[x = 2\] 3. **Lösungen überprüfen**: Setze \(x = 2\) in die ursprüngliche Gleichung ein: \[2(2) + 3 = 7\] \[4 + 3 = 7\] Die Lösung ist korrekt. 4. **Lösungsmenge angeben**: \[\{2\}\] ### Beispiel 2: Quadratische Gleichung Gleichung: \(x^2 - 5x + 6 = 0\) 1. **Gleichung vereinfachen**: Die Gleichung ist bereits vereinfacht. 2. **Lösungsmethode anwenden** (Faktorisierung): \[x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0\] Setze jeden Faktor gleich Null: \[x - 2 = 0 \quad \text{oder} \quad x - 3 = 0\] \[x = 2 \quad \text{oder} \quad x = 3\] 3. **Lösungen überprüfen**: Setze \(x = 2\) und \(x = 3\) in die ursprüngliche Gleichung ein: \[2^2 - 5(2) + 6 = 0\] \[4 - 10 + 6 = 0\] \[0 = 0\] \[3^2 - 5(3) + 6 = 0\] \[9 - 15 + 6 = 0\] \[0 = 0\] Beide Lösungen sind korrekt. 4. **Lösungsmenge angeben**: \[\{2, 3\}\] Diese Schritte können auf verschiedene Arten von Gleichungen angewendet werden, wobei die spezifischen Methoden je nach Gleichungstyp variieren.

Um die Lösungsmenge der Gleichung \( x^2 + 8x = 0 \) zu finden, kann man die Gleichung faktorisieren. Hier ist eine Schritt-für-Sch-Erklärung: 1. **Gleichung aufstellen:** \[ x^2 + 8x = 0 \] 2. **Faktorisieren:** Man kann die Gleichung durch Ausklammern von \( x \) faktorisieren: \[ x(x + 8) = 0 \] 3. **Nullregel anwenden:** Nach der Nullregel (Produktregel) gilt: Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist. Das bedeutet: \[ x = 0 \] oder \[ x + 8 = 0 \] 4. **Lösungen finden:** - Für \( x = 0 \) ist die Lösung direkt \( x = 0 \). - Für \( x + 8 = 0 \) löst man nach \( x \) auf: \[ x = -8 \] 5. **Lösungsmenge:** Die Lösungsmenge der Gleichung \( x^2 + 8x = 0 \) ist daher: \[ \{0, -8\} \] Das bedeutet, die Gleichung hat zwei Lösungen: \( x = 0 \) und \( x = -8 \).

Um die Lösungsmenge der Gleichung \(0 = 4 - 8t\) zu bestimmen, folge diesen Schritten: 1. **Umstellen der Gleichung**: \[ 8t = 4 \] 2. **Lösen nach \(t\)**: \[ t = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \] Die Lösungsmenge ist also \(t = \frac{1}{2}\). 3. **Probe**: Setze \(t = \frac{1}{2}\) in die ursprüngliche Gleichung ein: \[ 0 = 4 - 8 \cdot \frac{1}{2} \] \[ 0 = 4 - 4 \] \[ 0 = 0 \] Die Probe bestätigt die Lösung. Die Lösungsmenge ist \(t = \frac{1}{2}\).

Um die Lösungsmenge der Gleichung \( \frac{x}{5} = -3,2 \) zu bestimmen, multipliziere beide Seiten der Gleichung mit 5: \[ x = -3,2 \cdot 5 \] Berechne nun den Wert: \[ x = -16 \] Die Lösungsmenge ist somit \( \{-16\} \).