Lösungsmenge von x² = 4x + 5?

Die Gleichung \( x^2 = 4x + 5 \) kann durch Umstellen und Lösen einer quadratischen Gleichung gelöst werden. Hier ist der Schritt-für-Schritt-Prozess:

1. Bringe alle Terme auf eine Seite der Gleichung, um die Gleichung in die Standardform \( ax^2 + bx + c = 0 \) zu bringen:
\[ x^2 - 4x - 5 = 0 \]

2. Diese quadratische Gleichung kann mit der Mitternachtsformel (auch bekannt als die quadratische Lösungsformel) gelöst werden:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
wobei \( a = 1 \), \( b = -4 \) und \( c = -5 \).

3. Setze die Werte in die Formel ein:
\[ x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} \]
\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} \]
\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} \]
\[ x = \frac{4 \pm 6}{2} \]

4. Berechne die beiden möglichen Lösungen:
\[ x_1 = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]
\[ x_2 = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Die Lösungsmenge der Gleichung \( x^2 = 4x + 5 \) ist also:
\[ \{ -1, 5 \} \]