Vereinfache Schritt für Schritt: 2^(x+1) + 2^x = 3^(x+1) + 3^x?

Um die Gleichung \(2^{(x+1)} + 2^x = 3^{(x+1)} + 3^\) zu vereinfachen, kannst du die Potenzen umschreiben und dann versuchen, die Gleichung zu lösen. Hier sind die Schritte:

1. Schreibe die Potenzen um:
\[
2^{(x+1)} = 2 \cdot 2^x \quad \text{und} \quad 3^{(x+1)} = 3 \cdot 3^x
\]

2. Setze diese Umformungen in die Gleichung ein:
\[
2 \cdot 2^x + 2^x = 3 \cdot 3^x + 3^x
\]

3. Faktoriere \(2^x\) und \(3^x\) aus:
\[
2^x (2 + 1) = 3^x (3 + 1)
\]

4. Vereinfache die Ausdrücke in den Klammern:
\[
2^x \cdot 3 = 3^x \cdot 4
\]

5. Teile beide Seiten der Gleichung durch \(2^x\):
\[
3 = 4 \left(\frac{3}{2}\right)^x
\]

6. Teile beide Seiten der Gleichung durch 4:
\[
\frac{3}{4} = \left(\frac{3}{2}\right)^x
\]

7. Schreibe die Gleichung in logarithmischer Form, um \(x\) zu isolieren:
\[
x = \log_{\frac{3}{2}} \left(\frac{3}{4}\right)
\]

8. Verwende die Eigenschaft des Logarithmus, dass \(\log_b(a) = \frac{\log(a)}{\log(b)}\):
\[
x = \frac{\log \left(\frac{3}{4}\right)}{\log \left(\frac{3}{2}\right)}
\]

Das ist die vereinfachte Form der Lösung für \(x\).