5 Fragen zu Lgs

Um das lineare Gleichungssystem (LGS) zu lösen, kann man die Gleichungen in Matrixform schreiben und dann mit Methoden wie dem Gauß-Jordan-Verfahren oder der inversen Matrix arbeiten. Hier ist das LGS in Matrixform: \[ \begin{pmatrix} 2 & 0 & i \\ 1 & -3 & -i \\ i & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} i \\ 2i \\ 1+i \end{pmatrix} \] Schritt 1: Schreibe die erweiterte Matrix des Systems: \[ \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & i & i \\ 1 & -3 & -i & 2i \\ i & 1 & 1 & 1+i \end{array}\right) \] Schritt 2: Verwende das Gauß-Jordan-Verfahren, um die erweiterte Matrix in die reduzierte Zeilenstufenform zu bringen. 1. Zeile 1 bleibt unverändert: \[ \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & i & i \\ 1 & -3 & -i & 2i \\ i & 1 & 1 & 1+i \end{array}\right) \] 2. Subtrahiere das 0,5-fache der ersten Zeile von der zweiten Zeile: \[ \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & i & i \\ 0 & -3 & -i - 0,5i & 2i - 0,5i \\ i & 1 & 1 & 1+i \end{array}\right) \] \[ \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & i & i \\ 0 & -3 & -1,5i & 1,5i \\ i & 1 & 1 & 1+i \end{array}\right) \] 3. Subtrahiere das 0,5i-fache der ersten Zeile von der dritten Zeile: \[ \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & i & i \\ 0 & -3 & -1,5i & 1,5i \\ 0 & 1 & 1 - 0,5i^2 & 1+i - 0,5i \end{array}\right) \] \[ \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & i & i \\ 0 & -3 & -1,5i & 1,5i \\ 0 & 1 & 1 + 0,5 & 1+i - 0,5i \end{array}\right) \] \[ \leftbegin{array}{ccc|c} 2 & 0 & i & i \\ 0 & -3 & -1,5i & 1,5i \\ 0 & 1 & 1,5 & 1 + 0,5i \end{array}\right) \] 4. Addiere das 1/3-fache der zweiten Zeile zur dritten Zeile: \[ \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & i & i \\ 0 & -3 & -1,5i & 1,5i \\ 0 & 0 & 1,5 + 0,5i - 0,5i & 1 + 0,5i + 0,5i \end{array}\right) \] \[ \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & i & i \\ 0 & -3 & -1,5i & 1,5i \\ 0 & 0 & 1,5 & 1 + i \end{array}\right) \] . Teile die dritte Zeile durch 1,5: \[ \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & i & i \\ 0 & -3 & -1,5i & 1,5i \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1 + i}{1,5} \end{array}\right) \] \[ \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & i & i \\ 0 & -3 & -1,5i & 1,

Um das gegebene lineare Gleichungssystem (LGS) zu lösen, können wir die Gleichungen aufstellen: 1. \( 3x_1 + 2x_2 - x_3 = -2 \) (Gleichung 1) 2. \( 2x_1 - 3x_2 + x_3 = 9 \) (Gleichung 2) 3. \( 0x_1 + 4x_2 + x_3 = -7 \) (Gleichung 3) Wir können das LGS in Matrixform schreiben und dann mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren oder einer anderen Methode lösen. Die erweiterte Matrix sieht folgendermaßen aus: \[ \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 & | & -2 \\ 2 & -3 & 1 & | & 9 \\ 0 & 4 & 1 & | & -7 \end{pmatrix} \] Durch Anwendung des Gaußschen Eliminationsverfahrens erhalten wir die Lösungen für \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\). Nach den Berechnungen ergibt sich: 1. \(x_1 = 1\) 2. \(x_2 = -2\) 3. \(x_3 = -3\) Die Lösung des LGS ist also: \[ (x_1, x_2, x_3) = (1, -2, -3) \]

Um das gegebene lineare Gleichungssystem (LGS) mit dem Einsetzungsverfahren zu lösen, gehen wir Schritt für Schritt vor. Die beiden Gleichungen sind: 1. \( 4x = y - 35 + 4x \) 2. \( 9x - 3y = -81 \) Zuerst vereinfachen wir die erste Gleichung: 1. \( 4x = y - 35 + 4x \) Subtrahiere \( 4x \) von beiden Seiten: \( 0 = y - 35 \) Das ergibt: \( y = 35 \) Jetzt setzen wir \( y = 35 \) in die zweite Gleichung ein: 2. \( 9x - 3(35) = -81 \) Das vereinfacht sich zu: \( 9x - 105 = -81 \) Addiere 105 zu beiden Seiten: \( 9x = -81 + 105 \) Das ergibt: \( 9x = 24 \) Teile beide Seiten durch 9: \( x = \frac{24}{9} = \frac{8}{3} \) Jetzt haben wir die Werte für \( x \) und \( y \): \( x = \frac{8}{3} \) und \( y = 35 \) Die Lösung des LGS ist also: \( x = \frac{8}{3} \) und \( y = 35 \).

Um das gegebene lineare Gleichungssystem (LGS) mit dem Gleichsetzungsverfahren zu lösen, gehen wir wie folgt vor: Die beiden Gleichungen sind: 1. \(-\frac{2}{5}y = -2.5 - \frac{3}{4}x\) 2. \(-9 + \{5}{2}x = -\frac{2}{5}y\) Zuerst bringen wir die erste Gleichung in die Form \(y = mx + b\): 1. \(-\frac{2}{5}y = -2.5 - \frac{3}{4}x\) Multipliziere beide Seiten mit \(-\frac{5}{2}\): \[y = \frac{5}{2} \left(2.5 + \frac{3}{4}x\right)\] Berechne den Ausdruck: \[y = \frac{5}{2} \cdot 2.5 + \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{4}x\] \[y = 6.25 + \frac{15}{8}x\] Jetzt haben wir die erste Gleichung in der Form \(y = mx + b\). Nun bringen wir die zweite Gleichung ebenfalls in die Form \(y = mx + b\): 2. \(-9 + \frac{5}{2}x = -\frac{2}{5}y\) Multipliziere beide Seiten mit \(-\frac{5}{2}\): \[\frac{5}{2} \cdot 9 - x = y\] \[y = \frac{45}{2} - x\] Jetzt haben wir beide Gleichungen in der Form \(y = mx + b\): 1. \(y = 6.25 + \frac{15}{8}x\) 2. \(y = \frac{45}{2} - x\) Jetzt setzen wir die beiden Ausdrücke für \(y\) gleich: \[6.25 + \frac{15}{8}x = \frac{45}{2} - x\] Um die Gleichung zu lösen, bringen wir alle \(x\)-Terme auf eine Seite und die konstanten Terme auf die andere Seite: \[\frac{15}{8}x + x = \frac{45}{2} - 6.25\] Um \(x\) zu isolieren, konvertieren wir \(x\) in einen Bruch: \[x = \frac{8}{8}x\] Somit: \[\frac{15}{8}x + \frac{8}{8}x = \frac{45}{2} - 6.25\] \[\frac{23}{8}x = \frac{45}{2} - \frac{12.5}{2}\] \[\frac{23}{8}x = \frac{32.5}{2}\] \[\frac{23}{8}x = 16.25\] Multipliziere beide Seiten mit \(\frac{8}{23}\): \[x = 16.25 \cdot \frac{8}{23}\] \[x = \frac{130}{23}\] Jetzt setzen wir \(x\) in eine der beiden Gleichungen ein, um \(y\) zu finden. Wir verwenden die erste Gleichung: \[y = 6.25 + \frac{15}{8} \cdot \frac{130}{23}\] Berechne \(y\): \[y = 6.25 + \frac{1950}{184}\] \[y = 6.25 + 10.59\] \[y = 16.84\] Die Lösung des LGS ist: \[x = \frac{130}{23}, \quad y = 16.84\]

Um das gegebene lineare Gleichungssystem (LGS) zu lösen, hast du die beiden Gleichungen: 1. \( 5x + 6y = 39 \) (Gleichung I) 2. \( x + y = 7 \) (Gleichung II) Zuerst kannst du die zweite Gleichung nach \( y \) umstellen: \[ y = 7 - x \] Jetzt setzt du diesen Ausdruck für \( y \) in die erste Gleichung ein: \[ 5x + 6(7 - x) = 39 \] Das vereinfacht sich zu: \[ 5x + 42 - 6x = 39 \] Nun fassen wir die \( x \)-Terme zusammen: \[ -1x + 42 = 39 \] Subtrahiere 42 von beiden Seiten: \[ -x = 39 - 42 \] \[ -x = -3 \] Multipliziere beide Seiten mit -1: \[ x = 3 \] Jetzt setzen wir \( x = 3 \) in die Gleichung II ein, um \( y \) zu finden: \[ y = 7 - 3 = 4 \] Die Lösung des LGS ist also: \[ x = 3, \quad y = 4 \] Du kannst die Lösung überprüfen, indem du die Werte in die erste Gleichung einsetzt: \[ 5(3) + 6(4) = 15 + 24 = 39 \] Das stimmt, also ist die Lösung korrekt.