Wie löst man das LGS: 2x_1 + ix_3 = i, x_1 - 3x_2 - ix_3 = 2i, ix_1 + x_2 + x_3 = 1 + i?

Um das lineare Gleichungssystem (LGS) zu lösen, kann man die Gleichungen in Matrixform schreiben und dann mit Methoden wie dem Gauß-Jordan-Verfahren oder der inversen Matrix arbeiten. Hier ist das LGS in Matrixform:

\[
\begin{pmatrix}
2 & 0 & i \\
1 & -3 & -i \\
i & 1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
i \\
2i \\
1+i
\end{pmatrix}
\]

Schritt 1: Schreibe die erweiterte Matrix des Systems:

\[
\left(\begin{array}{ccc|c}
2 & 0 & i & i \\
1 & -3 & -i & 2i \\
i & 1 & 1 & 1+i
\end{array}\right)
\]

Schritt 2: Verwende das Gauß-Jordan-Verfahren, um die erweiterte Matrix in die reduzierte Zeilenstufenform zu bringen.

1. Zeile 1 bleibt unverändert:
\[
\left(\begin{array}{ccc|c}
2 & 0 & i & i \\
1 & -3 & -i & 2i \\
i & 1 & 1 & 1+i
\end{array}\right)
\]

2. Subtrahiere das 0,5-fache der ersten Zeile von der zweiten Zeile:
\[
\left(\begin{array}{ccc|c}
2 & 0 & i & i \\
0 & -3 & -i - 0,5i & 2i - 0,5i \\
i & 1 & 1 & 1+i
\end{array}\right)
\]
\[
\left(\begin{array}{ccc|c}
2 & 0 & i & i \\
0 & -3 & -1,5i & 1,5i \\
i & 1 & 1 & 1+i
\end{array}\right)
\]

3. Subtrahiere das 0,5i-fache der ersten Zeile von der dritten Zeile:
\[
\left(\begin{array}{ccc|c}
2 & 0 & i & i \\
0 & -3 & -1,5i & 1,5i \\
0 & 1 & 1 - 0,5i^2 & 1+i - 0,5i
\end{array}\right)
\]
\[
\left(\begin{array}{ccc|c}
2 & 0 & i & i \\
0 & -3 & -1,5i & 1,5i \\
0 & 1 & 1 + 0,5 & 1+i - 0,5i
\end{array}\right)
\]
\[
\leftbegin{array}{ccc|c}
2 & 0 & i & i \\
0 & -3 & -1,5i & 1,5i \\
0 & 1 & 1,5 & 1 + 0,5i
\end{array}\right)
\]

4. Addiere das 1/3-fache der zweiten Zeile zur dritten Zeile:
\[
\left(\begin{array}{ccc|c}
2 & 0 & i & i \\
0 & -3 & -1,5i & 1,5i \\
0 & 0 & 1,5 + 0,5i - 0,5i & 1 + 0,5i + 0,5i
\end{array}\right)
\]
\[
\left(\begin{array}{ccc|c}
2 & 0 & i & i \\
0 & -3 & -1,5i & 1,5i \\
0 & 0 & 1,5 & 1 + i
\end{array}\right)
\]

. Teile die dritte Zeile durch 1,5:
\[
\left(\begin{array}{ccc|c}
2 & 0 & i & i \\
0 & -3 & -1,5i & 1,5i \\
0 & 0 & 1 & \frac{1 + i}{1,5}
\end{array}\right)
\]
\[
\left(\begin{array}{ccc|c}
2 & 0 & i & i \\
0 & -3 & -1,5i & 1,